رياضيات كلاسيك

 

رياضيات كلاسيك بر دو ركن اساسي " عدد " و " فضا " بنا شده است .علوم حساب و جبر و آناليز از عدد نشأت مي گيرند و هندسه ، به مفهوم سنتي آن ، علم فضا و اشكال و اجسام موجود در فضا است . بسياري اوقات مي توان با يك پديده دو برخورد متمايز رياضي ، يكي جبري – عددي ، و ديگري هندسي داشت. در برخورد جبري يك چارچوب نمادين ارائه مي شود كه اغلب براي حل مسائل ديگر رياضي نيز قابل استفاده است و گاهي نيز قابل استفاده است و گاهي نيز منجر به فراهم ساختن يك الگوريتم يا دستورالعمل زنجيره اي براي حل اينگونه مسائل مي شود .در برخورد هندسي كه ريشه در نيروي باصره انسان دارد ،سعي بر اين است كه جميع روابط موجود بين اعضاي پديده يكجا جمع گردند، خصوصيات برجسته شناسايي شوند؛ و حل مسأله از اين مشاهدات ديده شود.

 

رياضي و قرآن

رمزهاي اعجاز آميز قرآن منحصراً از اين قرارند : 1. اولين آيه قرآن» بسم الله الرحمن الرحيم « داراي 19 حرف عربي است . 2. قرآن مجيد از 114 سوره تشكيل شده است و اين عدد به 19 قسمت است ( 6 × 19 ) . 3. اولين سوره اي كه نازل شده است سوره علق » شماره 96 « نوزدهمين سوره از آخر قرآن است . 4. سوره علق 19 آيه دارد . 5. سوره علق 285 حرف ( 15 × 19 ) دارد . 6. اولين بار كه جبرئيل امين با قرآن فرود آمد 5 آيه اولي آيه علق را آورد كه شامل 19 كلمه است . اين 19 كلمه ، 76 حرف ( 4 × 19 ) دارد كه به تعداد حروف ( بسم الله الرحمن الرحيم ) است . 8. دومين باري كه جبرئيل امين فرود آمد 9 آيه اولي سوره قلم ( شماره 68 ) را آورده كه شامل 38 كلمه ( 2 × 19 ) است .

قابل توجه دانشجویان محترم ریاضی

 

کتاب جامع ریاضی شامل تمامی نکات و قضایای دروس منابع آزمون کارشناسی ارشد رشته ریاضی به زودی چاپ و تقدیم دوستداران این رشته خواهد شد. قابل ذکر است که نویسنده و گردآوری این کتاب به عهده اینجانب دادمنش می باشد که شامل نکات و قظایا و مسائل مهم بالغ بر ۸۰ کتاب است که این کتابها منابع دانشجویان در دانشگاههای مختلف کشور بوده است.

قبل از چاپ و نشر کتاب دوست دارم نظرات شما را در بهتر و مفید شدن کتاب ریاضی جویا شوم.

با آرزوی موفقیت برای همه پویندگان دانش ریاضی - دادمنش

يک کاغذ را چند بار می توان تا کرد؟

     شايد تا کنون شده باشد که در مواقعی که بيکار هستيد يا اينکه انتظار خبر مهمی را می کشيد برای سرگرم کردن خودتان کاغذی را که در اطرافتان هست برداريد و شروع به تا کردن آن  کنيد و بعد از چند بار متوجه شويد که ديگر نمی شود کاغذ را تا کرد. در اين صورت يا از تا کردن کاغذ منصرف می شويد يا آن را باز می کنيد و دوباره شروع به تا کردنش می کنيد... البته ممکن است قبل از اينکه به آن زمان برسيدخبر مهم به شما داده شود  و کاغذ را به جای اولش برگردانيد !!!

     اين مسئله را همه ما تجربه کرده ايم اما شايد هيچ کدام از ما به طور جدی روی آن فکر نکرده باشيم.

     اگر ورق را هر بار طوری تا کنيد که اندازه آن نصف شود بيش از ۷ يا ۸ بار نمی توانيد آن را تا کنيد. مهم نيست ورق اوليه شما چقدر بزرگ باشد. شايد تا به حال اين قضيه را شنيده باشيد و سعی کرده باشيد که آن را امتحان کنيد و متوجه شده باشيد که تا کردن کاغذ بيش از۷ يا ۸ بار بسيار سخت است. آيا می توان گفت که اين اعداد يک محدوديت مستدل و عمومی برای تا کردن کاغذ هستند؟

فرض کنید شما کاغذی را انتخاب کرده ايد که دارای پهنای w و ضخامت t است . اگر شما شروع به تا کردن ورق از يک سمت بکنيد وقتی به جايی برسيد که ديگر نتوانيد کاغذ را تا کنيد يک نوار باريک خواهيد داشت.

با هر تا کردن ضخامت کاغذ دو برابر می شود و پهنای آن نصف خواهد شد. يعنی بعد از N بار تا کردن ضخامت 2ⁿ خواهد بود و البته مشخص است که پهنا ۰.۵ⁿ  می شود

اگر با کاغذی به پهنای 11cm و ضخامت 0.002cm اين کار را انجام دهيد بعد از 7 بار تا کردن نسبت t/w برابر 1/6 می شود. اين بدان معنيست که اندازه ضخامت از پهنا بيشتر می شود و در نتيجه ديگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهيد بود. اگر اين کاغذ را 50 بار بزرگتر کنيد شايد بتوانيد آن را تا ۱۰ بار هم تا کنيد.

اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنيد ممکن است تعداد دفعات بيشتری بتوانيد به تا کردن کاغذ ادامه دهيد. در اين صورت هر بارضخامت دو برابر می شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه يک بار نصف می شود.

چندين سال پيش هنگامی که بريتنی گاليوان در دبيرستان درس می خواند با اين مسئله رو به رو شد که چگونه کاغذی را ۱۲ بار تا کند . او بايد برای گرفتن نمره از يکی از کلاسهايش اين مسئله را حل می کرد. بعد از آزمايش راه های مختلف او موفق شد که ورقه نازکی از طلا را ۱۲ بار تا کند. اما مسئله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.

گاليوان بر روی معادله تعداد دفعاتی که می توان يک کاغذ با اندازه معين را تا کرد کار کرد.

که در آن L کمترين درازای کاغذ، t ميزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتی است که می توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L بايد يکسان باشد.

براي يک طول و ضخامت معين عبارت *******بيانگر آن است که صفحه بعد از n بار تا کردن چند برابر کوچک شده است. با n=0 شروع می کنیم و به همين ترتيب به رشته ای از اعداد به اين صورت می رسيم:

0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074, 2798250, . . .

اين به اين معنی است که در تای دوازدهم 2798250 برابر مقدار کاغذی که در تای اول از دست می رود از دست خواهد رفت.

گاليوان در کتابی با نام ((Historical Society of Pomona Valley)) چگونگی به دست آوردن اين معادله و تلاشش برای حل مشکل را توضيح داده است. بالاخره در June 2002 گاليوان يک کاغذ بزرگ را ۱۲بار تا کرد.

 راستی اگر از دید دیگری مسئله را نگاه کنیم باز هم جالب خواهد بود. منظورم این است که اگر تا کردن کاغذ را با ارتفاع بسنجیم بعد از ۱۰ بار تا کردن ضخامت کاغذ بدست آمده ۱۰۲۴ برابر حالت اولیه می شود و در مرحله ۱۱ ام۲۰۴۸ و در مرحله ۱۲ ام ۴۰۹۶

یعنی در مرحله دوازدهم باید ۴۰۹۶ برگ را تا کنیم که ضخامتی برابر با حدود ۵۰ سانتی متر که کار خیلی دشوار و تقریبا ناممکن است

 

فرضيه نسبيت اينشتين چیست؟

 

بنا بر فرضيه نسبيت اينشتين، كه او آن را در سال 1905 ميلادى ارائه كرد، ساعت هايى كه به سرعت تغيير مكان داده مى شوند نسبت به ساعت هايى با ساخت همسان كه در مكان ثابتى قرار گرفته اند، آهسته تر كار مى كنند. اين پديده كه به صورت تحت اللفظى «كش آمدن زمان» ناميده مى شود، احتمالاً يكى از نتايج اعجاب برانگيز تئورى انقلابى اينشتين در مورد فضا و زمان است. اينكه مدت يك ثانيه، بايستى به سرعت حركت خود ساعت بستگى داشته باشد، از لحاظ حسى، قابل تصور نيست و با تجارب همه روزه ما، همخوانى ندارد. با اين وجود، «انبساط زمان» كه در سال 1971 توسط ساعت هاى اتمى در داخل هواپيماهاى پر سرعت ثابت شد، يك واقعيت است. اما فيزيكدانان آلمانى درصدد برآمدند تا اين موضوع را دقيق تر بررسى كنند.

قلب تپنده انستيتوى فيزيك هسته اى ماكس پلانك، يك دستگاه شتاب دهنده ذرات است كه در مكانى به بزرگى جايگاه نگهدارى هواپيماها قرار گرفته است. «گيدو زاتهوف» كه به هنگام كار ترانسفورماتورها و دستگاه هاى توليدكننده خلاء به زحمت مى توانست صداى خود را به گوش ما برساند، گفت: «داستان از اينجا آغاز مى شود. ما اينجا يك قفس فارادى داريم كه درون آن يك منبع يونى جاى گرفته است.»

اين فيزيكدان متخصص به تانكى نارنجى رنگ و به شكل يك سوسيس بسيار بزرگ اشاره مى كند و مى افزايد: «در درون اين محفظه، يك جريان الكتريكى فشار قوى، يون هاى عنصر ليتيم را تحريك كرده و به ميزان 19 هزار كيلومتر در ثانيه به شتاب در مى آورد. اين سرعت كه يك ششم سرعت نور است براى گردش هر 2 ثانيه يكبار يون ها به دور زمين كفايت مى كند.»
بر اساس فرضيه نسبيت اينشتين، بايستى ساعت درونى ذرات پرسرعت يون ها نسبت به ساعت مچى زاتهوف آهسته تر كار كند. به گفته او: «بر اساس نظريه اينشتين، تقريباً 002/1 مرتبه آهسته تر. يعنى 002/0 ثانيه آهسته تر از ساعت هاى آزمايشگاه و ما مى توانيم به وسيله اسپكتروسكوپ ليزرى اين فاكتور را تا رقم دهم بعد از مميز نيز دقيقاً محاسبه كنيم.» 
در زيرزمين موسسه ماكس پلانك، زير نورى ضعيف و در پس يك پرده پلاستيكى سياه رنگ، يك ميز به بزرگى ميز پينگ پونگ قرار دارد. 3 دستگاه بزرگ ليزر و شمار زيادى عدسى و آينه، بر اين ميز جاى گرفته اند. تنها سوار كردن اين سيستم دقيق نورى 3 سال تمام زمان نياز داشت.
تاكنون كارشناسان آلمانى موفق شده اند فرمول اينشتين را با دقت 10 رقم بعد از مميز نيز تائيد كنند. اما آنها قصد دارند به زودى اين آزمايش ها را با دستگاه قوى ترى در شهر «دارمشتات» به انجام برسانند.

 

تصاعد !!

 

در کشور ما ایران در سده های چهارم و پنجم هجری ، بسیاری از ریاضی دانان ایرانی ، به بررسی تصاعد ها پرداخته‌ اند از جمله « ابوریحان بیرونی » در کتاب خود به نام « آثار الباقیه عن القرون الخالیه » مسئله معروف صفحه شطرنج را که در واقع مسئله ای مربوط به یک تصاعد هندسی است که جمله ی اول آن واحد و تعداد جمله ها 64 باشد ، حل کرده است و با استدلال دقیق ، مجموع جمله های این تصاعد را به دست آورده است

18446744073551615

درباره صفحه شطرنج ، روایتی وجود دارد . وقتی مخترع شطرنج ، کشف خود را به شاه عرضه کرد ، شاه از اوخواست پاداشی بخواهد ، دانشمند پاسخ داد : به خاطر خانه اول شطرنج ، یک دانه گندم به من بدهید و به خاطر خانه دوم دو دانه‌ی گندم و به خاطر خانه سوم چهار دانه‌ی گندم و همینطور برای هر خانه دو برابر خانه‌ی پیش از آن گندم به من بدهید تا به خانه شصت و چهارم برسد . شاه با ساده لوحی فرمان داد یک کیسه گندم به این مرد بدهید . ولی او نپذیرفت و تقاضا کرد پس از محاسبه دقیق ، گندم را به او بدهند و پس از محاسبه، عددی را که در بالا آوردیم پیدا شد .که اگردر تمام سطح کره زمین (یعنی هر جا که خشکی باشد ) گندم بکارند این مقذار گندم به دست نمی آید. ابوریحان بیرونی با استدلال به این نتیجه رسید که مقدار گندم ها برابر 264-1 و برای محسوس کردن این عدد می گوید:در سطح کره مین 2305 کوه را در نظر می گیریم ، اگر از هر کوه 10000رود جاری شود ، در طول رود خانه 1000قطار قاطر حرکت کند و هرقطار شامل 1000قاطر باشد و بر هر قاطر 8 کیسه گندم قرار داده باشیم . ودر هر کیسه 10000دانه گندم باشد . آن وقت عدد همه‌ی این گندم ها از تعداد گندم های صفحه شطرنج کوچکترمی شود.

به نظر شما جالب نیست؟

منطق فازی

 

از آن زمان كه انسان انديشيدن را آغاز كرد، همواره كلمات و عباراتى را بر زبان جارى ساخته كه مرزهاى روشنى نداشته اند. كلماتى نظير «خوب»، «بد»، «جوان»، «پير»، «بلند»، «كوتاه»، «قوى»، «ضعيف»، «گرم»، «سرد»، «خوشحال»، «باهوش»، «زيبا» و قيودى از قبيل «معمولاً»، «غالباً»، «تقريباً» و «به ندرت». روشن است كه نمى توان براى اين كلمات رمز مشخصى يافت، براى مثال در گزاره «على باهوش است» يا «گل رز زيباست» نمى توان مرز مشخصى براى «باهوش بودن» و «زيبا بودن» در نظر گرفت. اما در بسيارى از علوم نظير رياضيات و منطق، فرض بر اين است كه مرزها و محدوده هاى دقيقاً تعريف شده اى وجود دارد و يك موضوع خاص يا در محدوده آن مرز مى گنجد يا نمى گنجد. مواردى چون همه يا هيچ، فانى يا غيرفانى، زنده يا مرده، مرد يا زن، سفيد يا سياه، صفر يا يك، يا «اين» يا «نقيض اين» . در اين علوم هر گزاره اى يا درست است يا نادرست، پديده هاى واقعى يا «سفيد» هستند يا «سياه» .
اين باور به سياه و سفيدها، صفر و يك ها و اين نظام دو ارزشى به گذشته بازمى گردد و حداقل به يونان قديم و ارسطو مى رسد. البته قبل از ارسطو نوعى ذهنيت فلسفى وجود داشت كه به ايمان دودويى با شك و ترديد مى نگريست. بودا در هند، پنج قرن قبل از مسيح و تقريباً دو قرن قبل از ارسطو زندگى مى كرد. اولين قدم در سيستم اعتقادى او گريز از جهان سياه و سفيد و برداشتن اين حجاب دوارزشى بود. نگريستن به جهان به صورتى كه هست. از ديد بودا جهان را بايد سراسر تناقض ديد، جهانى كه چيزها و ناچيزها در آن وجود دارد. در آن گل هاى رز هم سرخ هستند و هم غيرسرخ. در منطق بودا هم A داريم هم نقيض A. در منطق ارسطو يا A داريم يا نقيض A منطق (A يا نقيض A) در مقابل منطق (A و نقيض A). منطق اين يا آن ارسطو در مقابل منطق تضاد بودا.

منطق ارسطو اساس رياضيات كلاسيك را تشكيل مى دهد. براساس اصول و مبانى اين منطق همه چيز تنها مشمول يك قاعده ثابت مى شود كه به موجب آن يا آن چيز درست است يا نادرست. دانشمندان نيز بر همين اساس به تحليل دنياى خود مى پرداختند. گرچه آنها هميشه مطمئن نبودند كه چه چيزى درست است و چه چيزى نادرست و گرچه درباره درستى يا نادرستى يك پديده مشخص ممكن بود دچار ترديد شوند، ولى در يك مورد هيچ ترديدى نداشتند و آن اينكه هر پديده اى يا «درست» است يا «نادرست».

هر گزاره، قانون و قاعده اى يا قابل استناد است يا نيست. بيش از دو هزار سال است كه قانون ارسطو تعيين مى كند كه از نظر فلسفى چه چيز درست است و چه چيز نادرست. اين قانون «انديشيدن» در زبان، آموزش و افكار ما رسوخ كرده است.

منطق ارسطويى دقت را فداى سهولت مى كند. نتايج منطق ارسطويى، «دوارزشى»، «درست يا نادرست»، «سياه يا سفيد» و «صفر يا يك» مى تواند مطالب رياضى و پردازش رايانه اى را ساده كند. مى توان با رشته اى از صفر و يك ها بسيار ساده تر از كسرها كار كرد. اما حالت دوارزشى نيازمند انطباق ورزى و از بين بردن زوايد است. به عنوان مثال هنگامى كه مى پرسيد: آيا شما از كار خود راضى هستيد؟ نمى توان انتظار جواب بله يا خير داشت، مگر آنكه با تقريب بالايى صحبت كنيد. «سورن كيركگارد» فيلسوف اگزيستانسياليست، در سال 1843 كتابى در رابطه با تصميم گيرى و آزاد انديشى به نام «يا اين يا آن» نوشت. او در اين كتاب بشر را برده كيهانى انتخاب هاى «دودويى» در تصميم گيرى هايش ناميد. تصميم گيرى به انجام يا عدم انجام كارى و تصميم گيرى درباره بودن يا نبودن چيزى.

گرچه مى توان مثال هاى فراوانى را ذكر كرد كه كاربرد منطق ارسطويى در مورد آنها صحيح باشد، اما بايد توجه داشت كه نبايد آنچه را كه تنها براى موارد خاص مصداق دارد به تمام پديده ها تعميم داد. در دنيايى كه ما در آن زندگى مى كنيم، اكثر چيزهايى كه درست به نظر مى رسند، «نسبتاً» درست هستند و در مورد صحت و سقم پديده هاى واقعى همواره درجاتى از «عدم قطعيت» صدق مى كند. به عبارت ديگر پديده هاى واقعى تنها سياه يا تنها سفيد نيستند، بلكه تا اندازه اى «خاكسترى» هستند. پديده هاى واقعى همواره «فازى»، «مبهم» و «غيردقيق» هستند. تنها رياضى بود كه سياه و سفيد بود. اين خود چيزى جز يك سيستم مصنوعى متشكل از قواعد و نشانه ها نبود. علم واقعيت هاى خاكسترى يا فازى را با ابزار سياه و سفيد رياضى به نمايش مى گذاشت و اين چنين بود كه به نظر مى رسيد واقعيت ها نيز تنها سياه يا سفيد هستند. بدين ترتيب در حالى كه در تمامى جهان حتى يك پديده را نمى توان يافت كه صددرصد درست يا صددرصد نادرست باشد، علم با ابزار رياضى خود همه پديده هاى جهان را اين طور بيان مى كرد. در اين جا بود كه علم دچار اشتباه شد. در منطق ارسطويى حالت ميانه اى وجود ندارد و شيوه استدلال «قطعى و صريح» است. از طرف ديگر رياضيات فازى بر پايه استدلال تقريبى بنا شده كه منطبق با طبيعت و سرشت سيستم هاى انسانى است. در اين نوع استدلال، حالت هاى صفر و يك تنها مرزهاى استدلال را بيان مى كنند و در واقع استدلال تقريبى حالت تعميم يافته استدلال قطعى و صريح ارسطويى است.

در سال 1965، دکتر لطفی‌زاده نظریه سیستم‌های فازی را معرفی کرد. در فضایی که دانشمندان علوم مهندسی به دنبال روش‌های ریاضی برای شکست دادن مسایل دشوارتر بودند، نظریه فازی به گونه‌ای دیگر از مدل‌سازی، اقدام کرد.

منطق فازى، يك جهان بينى جديد است كه به رغم ريشه داشتن در فرهنگ مشرق زمين با نيازهاى دنياى پيچيده امروز بسيار سازگارتر از منطق ارسطويى است. منطق فازى جهان را آن طور كه هست به تصوير مى كشد. بديهى است چون ذهن ما با منطق ارسطويى پرورش يافته، براى درك مفاهيم فازى در ابتدا بايد كمى تامل كنيم، ولى وقتى آن را شناختيم، ديگر نمى توانيم به سادگى آن را فراموش كنيم. دنيايى كه ما در آن زندگى مى كنيم، دنياى مبهمات و عدم قطعيت است. مغز انسان عادت كرده است كه در چنين محيطى فكر كند و تصميم بگيرد و اين قابليت مغز كه مى تواند با استفاده از داده هاى نادقيق و كيفى به يادگيرى و نتيجه گيرى بپردازد، در مقابل منطق ارسطويى كه لازمه آن داده هاى دقيق و كمى است، قابل تامل است.

 

 

کاربرد مثلث در موسیقی

 

مثلث از ابتدایی ترین اشکال هندسی بوده که انسانها در هنر از آن استفاده میکردند، بدون شک اولین نوع از انواع مثلث هم که در هنر از آن استفاده شده مثلث متساول الاضلاع بوده است. اهرام مصر نمونه بسیاری قدیمی (حدود 2800 سال پیش از میلاد) از کاربری مثلت در هنر معماری قدیم بوده است. نمونه های دیگر از استفاده از مثلث در هنر تمدن های قدیم را می تواند در کاشی کاری های دیواره معابد Pompeii در نپال نیز مشاهده کرد.

معروف هست تالس (640-550 سال پیش از میلاد) که پدر ریاضیات، نجوم و فلسفه یونان باستان بوده از شاگردان خود می خواهد که به مصر سفر کنند تا از پیشرفت علوم در آن تمدن اطلاعات لازم را کسب کنند و فیثاغورث (Pythagoras) از اولین افرادی بوده که این دستور را می پذیرد و به مصر سفر میکند. فیثاغورث از بنیانگذاران علمی موسیقی در جهان بوده و اغلب از هندسه برای مدل کردن استفاده می کرده، می خواهیم با استفاده از تجربیات او سلسه مطالبی را پیرامون ارتباط موسیقی با علوم هندسه، فیزیک و ریاضی آغاز کنیم. 
 

 موسیقی را می توانیم به روشهای مختلف مدل کنیم برای شروع کار ساده ترین روش را انتخاب میکنم که عبارت است از مدل کردن عمودی موسیقی یاهمان هارمونی. این روش مدل کردن به موسیقیدان ها کمک می کند تا هنگام فکر یا گوش کردن به هارمونی تصویر بهتری از نت های موسیقی داشته باشند بخصوص برای نوازندگان سازغیر از پیانو.

یک دایره در نظر بگیرید و آنرا به دوازده قسمت مساوی (یک اکتاو کروماتیک) تقسیم کنید و نت ها را به ترتیب روی هر قسمت بنویسد مانند شکل. یکی از ساده ترین اشکال هندسی که در این دایره تقسیم شده می توان ساخت مثلت متساوی الاضلاع می باشد. که اگر آنرا بسازید و به آن دقت کنید تفسیر موسیقی آن یک آکورد افزوده خواهد بود. حتما" شنید که آکوردهای افزوده جدای از اینکه معکوس باشند یا نه چهار حالت بیشتر نیستند که دایره فوق این موضوع را بسادگی نمایش میدهد چرا که اگر راس بالایی مثلث را در جهت عقربه های ساعت حرکت دهیم تا رسیدن به نت E و انطباق دوباره روی خود، می تواند سه حالت دیگر را به خود بگیرد. همچنین به وضوح در شکل می توان دید که یک آکورد افزوده از سه فاصله (که در اینجا هرکدام یک ضلع مثلث هستند) یکسان معادل 4 نیم پرده تشکیل شده است. 

مثلث متساول الاضلاع معادل یک آکورد افزوده

شما باز هم می توانید مثلث های دیگری درست کنید. به شکل بعدی نگاه کنید که آکوردهای دو ماژور و لا مینور را نمایش میدهد. این دو مثلث (آکورد) خصوصیات جالبی دارند اولا" اضلاع آنها باهم برابر است، ثانیا" نسبت به خطی که از D کشیده میشود و به G# خطم میشود متقارن می باشند، حتما" می دانید که مینور نسبی گام دو ماژور، لامینور می باشد. به این طریق شما می توانید یک روش ساده برای پیدا کردن گامهای مینور و ماژور نسبی پیدا کنید، هر چند اینکار در پیانو بخاطر وضوح دیداری که چیدمان نت ها وجود دارد ساده می باشد.

مثلث های متساوی الساقین هم جالب هستند یکی از آنها آکورد sus2 را تشکیل میدهد که در شکل مشاهده میکنید و همچنین میتوانید آکوردهای کاسته را نیز باز با یک مثلث متساوی الساقین درست کنید. اگر دقت کنید این مثلث متساوی الساقین حالت آکورد sus2 برای C و حالت آکورد sus4 برای G دارد. بنابراین می توان به ارتباط نزدیک آکوردهای sus در حالت های 2 و 4 برای فاصله های پنجم با یکدیگر پی برد. این نکته هم جالب خواهد بود اگر شما راس D در این مثلث را نسبت به راس C قرینه کنید به آکورد sus2 دیگری می رسید که یک پرده عقب تر است آکورد Csus4 قرار دارد.

آکوردهای بزرگ، کوچک، sus2 و sus4

شما می توانید دامنه مدل کردن را ادامه دهید و راجع به سایر مثلث ها فکر کنید، همچنین می توانید آکوردهای چهار صدایی را با انواع چهار ضلعی ها مدل کنید. سئوالی که پیش می آید این است که آیا هستند افرادی که با شنیدن موسیقی این اشکال در ذهن آنها نقش ببندد؟

فراکتال

فراکتال

فراکتال ها(fractals) جزء معدود چیزهایی است که واقعا از دیدن شان لذت می برم و دوست شان دارم. این اشکال زیبا که به شکل دیوانه کننده ای وحشی، غیر قابل پیش بینی و بدیعند به نوعی بیان کننده حقیقت حاکم بر طبیعت نیزهستند.

بی نهایت در بی نهایتند و حد و مرزی را نمی شناسند. بسیار ساده اند به سادگی یک فرمول چند حرفی. در عین حال بسیار پیچیده اند به پیچده گی کل طبیعت. چنان آشوبناکند که حرکت و شکلشان غیر قابل پبش بینی است. با این حال از چنان نظمی پیروی می کنند که در کمتر چیزی این نظم را می توان به عینه دید. وجودشان تشکیل شده از تکراریک قانون کوچک ومشخص در ابعاد مختلف. اشکالی که از آنها به دست می آید در بسیاری ازمواقع بسیار شبیه شیئی مشخص در طبیعت است مانند برگها و گیاهان. به نظر من چیزی که تا حدی در این تصاویر جالب است، نزدیکی آن به هنرهای تصویری ایرانی است که آنها هم بر گرفته از طبیعت و دارای عنصر مهم تکرار هستند. ، آن چیزی که باعث ایجاد و گسترش گرافیک فراکتالی شده قطعا کامپیوترو برنامه نویسی بوده است. در واقع با سریعتر شدن کامپیوترها شرایط برای ایجاد و آزمایش این فرمولها که از قبل شناخته شده بود مهیا شد

 

فلسفه هفت سین

 

فلسفه هفت سین چیست؟ به طور مقدمه باید دانست که عدد "هفت" نزد ایرانیان قدیم مقدس بود و به خاطر ستارگان هفتگانه یعنی زهره ، مشتری ، عطارد ، زحل ، مریخ ، زمین و خورشید  عدد هفت را گرامی می داشتند. نیاکان ما که زرتشتی بودند ، اعتقاد داشتند که عقل مقدس یعنی " اهورامزدا " که به او "سپند مینو" نیز می گفتند ، شش وزیر بزرگ به نام "امشاسپندان" دارد که یعنی مقدسان جاویدان و این شش امشاسپند با "سپندمینو" تشکیل (هفت سپند) می دهند.

علت این که هفت سین به راستی هفت سین است ، اشاره به هفت "امشاسپند" است و چون کلمه "سپند" با سین شروع می شده ، روی این اصل به علامت آن هفت مقدس جاودانی ، چیزهائی در نظر گرفته شده که هم با حرف سین شروع شده باشند و هم مورد استفاده مثبت بشر واقع شوند.

عدد هفت در قدیم : مردم بابل عدد هفت را مقدس می شمردند ، طبقات آسمان و زمین و سیارات هفت بوده است ، ایام هفته هفت روز است.

هفت از نظر مذاهب: به عقیده هندیها در آئین برهما انسان هفت بار می میرد . عروس و داماد باید هفت قدم به اتفاق هم بردارند. هفت قدم جلو رفته و قسم می خورند ، در آئین زرتشت هفت فرشته مقرب وجود دارد. در تورات مذکور است که هفت نر و ماده را با خود برگیر تا نسلی بر جهان بماند.

هفت در آئین مسیح : هفت معجزه ، از 33 معجزه را مسیح در انجیل ذکر کرده است ، در انجیل از هفت روح پلید صحبت شده است ، به نظر فرقه کاتولیک ، هفت نوع شادی و هفت غسل تعمید وجود دارد.

هفت در اسلام: آسمان هفت طبقه دارد . فرعون در خواب هفت گاو چاق و هفت گاو لاغر را دید که گفتند هفت سال خشکسالی و هفت سال فراوانی می شود. جهنم هفت طبقه دارد . گناهان اصلی هفت عدد است . پیش از اسلام در بین اعراب ، هفت بار طواف دور کعبه مرسوم بوده و در سنت اسلامی نیز چنین است . هفت نفر قاری قرآن معروف بودند ، هفت بار شستن اشیاء ناپاک و قرار گرفتن هفت عضو بدن هنگام نماز  بر زمیننیز مذکور است .

هفت در تصوف : هفت وادی سلوک در تصوف معروف است 1) طلب ، 2)عشق ، 3)معرفت ، 4) استغنا ، 5)توحید ، 6) حیرت ، 7)فنا ، مولوی می گوید:

هفت شهر عشق را عطار گشت .........................ما هنوز اندر خم یک کوچه ایم

هفت در تاریخ : همراهان داریوش با خود او هفت نفر بودند، در نقش رستم در بالای آرامگاه داریوش ، هفت نقش ملاحظه می شود . جنگهای هفت ساله در زمان لوئی 11 واقع شد. اژدهای هفت سر معروف است . هفت پسر گشتاسب به هفت راهزن تبدیل شدند و هفت خوان رستم و اسفندیار معروف است.

معابد هفت طبقه: در بابل و آشور هر معبدی هفت طبقه داشت و هر طبقه به نام یکی از سیارات و هفت رنگ بود (سرخ ، سیمین، سفید، سیاه، ارغوانی، آبی و سبز). حصار اکباتان هفت دیوار داشت و آرامگاه کورش هفت پله دارد .

 

توپولوژی چیست ؟

توپولوژی (مکان شناسی)، مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی است که در طی تغییر شکلها ، ضربه خوردن ها و کشیده شدن اشیاء ، به طور ثابت حفظ میشوند (البته عمل پاره کردن مجاز نمی باشد). یک دایره به لحاظ توپولوژیکی هم ارز بیضی میباشد که می تواند در داخل آن با کشیده شدن تغییر شکل یابد و یک کره به سطح بیضی وار هم ارز است( یعنی یک منحنی بسته تک بعدی و بدون هیچ محل تقاطع که میتواند در فضای دو بعدی جای گیرد)، مجموعه تمام وضعیتهای ممکن برای عقربه های ساعت شمار و دقیقه شمار با هم ، به لحاظ توپولوژیکی با چنبره هم ارز است (یعنی یک سطح دوبعدی که می تواند در داخل فضای سه بعدی جای گیرد) و مجموعه تمام وضعیت های ممکن برای عقربه های ساعت شمار ، دقیقه شمار و ثانیه شمار با هم ، به لحاظ توپولوژی با یک شیء سه بعدی هم ارز می باشد.
البته توپولوژی فقط این نیست. توپولوژی با منحنی ها ، سطوح و سایر اشیاء در صفحه و فضای سه بعدی مطرح گردید. یکی از ایده های اصلی در توپولوژی این است که اشیاء فضایی مثل دایره ها و کره ها در نوع خود میتوانند به عنوان اشیاء محسوب شوند و علم اشیاء ارتباطی با چگونگی نمایش یافتن یا جای گرفتن آنها در فضا ندارد. برای مثال ، عبارت " اگر شما یک نقطه را از دایره بیرون بکشید، یک پاره خط حاصل خواهد شد " ، درست به همان اندازه که برای دایره صادق است برای بیضی و حتی دایره های پیچ خورده و گره دار نیز صدق می کند، چرا که این عبارت فقط خصوصیات توپولوژیکی را شامل می شود .
توپولوژی با مطالعه مواردی چون اشیاء فضایی از قبیل منحنی ها، سطوح، فضایی که ما آن را جهان می نامیم ، پیوستار فضا زمان با نسبیت عمومی، فراکتال ها، گره ها ، چند شکلی ها (اشیایی هستند که برخی خصوصیات فضایی اصلی آن ها مشابه با جهان ما می باشد)، فضا های مرحله ای که در فیزیک با آن ها مواجه می شئیم ( مثل فضای وضعیت های قرار گرفتن عقربه ها در ساعت) ، گروه های متقارن همچون مجموعه شیوه های چرخاندن یک رأس و غیره در ارتباط است.
توپولوژی برای جدا سازی اتصال ذاتی اشیاء و در عین حال کنار گذاشتن ساختار جزء به جزء آنها قابل استفاده می باشد.
اشیاء توپولوژیکی اغلب به صورت رسمی به عنوان فضا های توپولوژیکی تعریف می شوند. اگر دو شیء دارای خصوصیات توپولوژیکی مشابه باشند ، گفته می شود که آن ها هم ریخت هستند.البته اگر دقیق تر بگوییم ، خصوصیاتی که با کشیدن یا کج کردن یک شیء تخریب نمی شوند ، در واقع خصوصیاتی هستند که به واسطه همسانگری حفظ می شوند نه به واسطه ی هم ریختی؛ همسانگری با کج کردن اشیاء دیگر در ارتباط است در حالیکه همریختی ، خصیصه ذاتی است).
حدود سال 1900 ، (پوانکاره poincare) ، معیاری از توپولوژی را تحت عنوان هوموتوپی (Homotopy) طراحی کرد(کولینز . 2004) . به طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می شوند که یکی از آنها بتواند به طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد.
توپولوژی بر سه قسم است: توپولوژی جبری(که توپولوژی ترکیبی نامیده میشود) توپولوژی نا همسان و توپولوژی کم بعدی.
یک تعریف رسمی نیز برای توپولوژی که بر حسب عملیات های مجموعه ای تعریف میشوند ، وجود دارد. یک مجموعه X به همراه یک مجموعه T از زیر مجموعه آن ، در صورتی یک توپولوژی محسوب می شود که زیر مجموعه ها در T از خصوصیات زیر پیروی نمایند:

1- زیر مجموعه های ناچیز X و مجموعه تهی در T باشند.
2- هر گاه مجموعه ای A و B در T باشند ، آنگاهA^ B
3- هر گاه دو یا چند مجموعه در T باشند آنگاه اجتماع آن ها نیز چنین است.

 

کرمچاله ها

 

کرمچاله ها ( تونل های فضازمانی )

  یک سال بعد از ارائه نظریه نسبیت عام توسط آلبرت اینشتین  ،سال 1916م فلام متوجه شد که ازحل شوارتزشیلد معادلات اینشتین میتوا ن جواب کرمچاله ای بدست آورد . این نوع کرمچاله ،«کرمچاله شوارتزشیلد » نامیده شد .

      کرمچاله ها ساختارهای فضازمانی پل مانندی هستند که دو ناحیه مجزا از یک فضا زمان یا دوفضا زمان مجزا را به یکدیگر وصل می کنند .  کرمچاله ها باعث کوتاه شدن مسافت و زمان لازم برای رسیدن از یک نقطه به نقطه دیگر می شوند .در دهه 1930م اینشتین و روزن با استفاده از غوطه ورکردن متریک شوارتزشیلد در فضای استوانه ای ، معادله غوطه وری یک کرمچاله گذر ناپذیر وغیر ایستا موسوم به «  پل اینشتین - روزن » را بدست آوردند

      یکی از جنبه های جالب کرمچاله ها ، استفاده از آنها برای انجام سفر در فضازمان است . می دانیم که فاصله زمین تا نزدیک ترین ستاره غیر از خورشید ، حدود 4سال نوری می باشد . یعنی نور با سرعت 300 هزار کیلومتر بر ثانیه حدود 4 سال طول می کشد تا به این ستاره برسد . حال ما با تکنولوژی امروزه ممکن است بیش از یک میلیون و سیصد هزار سال طول زمان نیاز داشته باشیم تا به این ستاره برویم که برای انسان امر غیر ممکنی است . بنظر می رسدکه با فرض وجود کرمچاله ، می توان از یک طرف وارد آن شد و تقریبا بلافاصله پس از خروج از طرف دیگر ، در ناحیه ای دوردست از جهان سردرآورد . در این طرح امکان سردرآوردن از جهانی دیگر نیز وجود دارد . در شکل ضمیمه تصویر دو بعدی از یک کرمچاله را مشاهده می کنید .

      بعضی افراد به اشتباه سیاهچاله ها را به عنوان ابزارهایی برای مسافرت های فضایی می شناسند . اما باید بدانیم که سیاهچاله ها دارای افق هستند و وقتی جسمی ، حتی نور ، وارد آنها شد ، علاوه بر نابودی ، امکان خروج برایش وجود ندارد . امم برخی از کرمچاله ها این امکان را به ما می دهند که بدون صدمه دیدن از آنها عبور کنیم .

      در این مقاله ضمن آشنایی با این ساختارها ، امکان عبور از آنها را نیز بررسی می کنیم .

هندسه یک کرمچاله :

      یک کرمچاله در صورت وجود ، خود بخشی از فضازمان چهار بعدی عالم می باشد . همانطور که می دانید اینشتین در سال 1905 م ثابت کرد که جهان تنها از سه بعد فضایی تشکیل نشده و زمان صرفآ یک پارامتر در حال تغییر نیست . بلکه زمان خود نیز به عنوان بعد چهارم عالم به حساب می آید . در این فضازمان چهار بعدی ، کرمچاله ها می توانند  سوراخی به جهانی دیگر یا ناحیه ای دیگر از همین جهان باشند . پس باید در نظر داشته باشیم که این اجسام چهاربعدی هستند و ما تنها برای ساده سازی آنها را به صورت دو بعدی نشان می دهیم .

    به عنوان مثالی ساده ، یک صفحه کاغذ تخت را در نظر بگیرید که از چهار طرف تا فواصل بسیار دور گسترده شده باشد . هر دو طرف صفحه که آنها را « رو » و « زیر » صفحه می نامیم ، بطور مستقل یک فضای دوبعدی راتشکیل می دهند که می توانیم آن را یک جهان دوبعدی فرض کنیم . ساکنان این جهانها خود موجودات دو بعدی هستند . واضح است که این دو جهان هیچ ارتباطی با هم ندارند و ساکنان آنها از وجود همدیگر بی خبرند .اکنون تصور کنید یک سوراخ دایره ای در این صفحه ایجاد شود . به این ترتیب دو جهان بطور پیوسته با هم ارتباط دارند . ما این حفره تونل مانند را یک کرمچاله می نامیم .

     حال بیائید به جای یک سوراخ ، دو سوراخ درصفحه ایجاد کنیم . سپس لبه های این دو سوراخ را بکشیم تا به صورت دو لوله درآید وبا ادامه دادن این کار دو لوله را به هم وصل کنیم. این نیز یک کرمچاله است . با این تفاوت که بر خلاف حالت قبلی دو ناحیه از یک جهان را به هم وصل می کند . در حالتی که فضای ما خمیده باشد مسافرت از طریق این کرمچاله بسیار سریع تر امکان پذیر است . چون مسافت کوتاهتر است .

      اگردر هر یک از دو ورق تخت موازی نیز یک سوراخ ایجادکنیم ، با کشیدن لبه های سوراخ و رساندن دو لوله ایجاد شده به هم می توانیم یک کرمچاله ایجاد کنیم که صفحه بالایی یکی از ورق ها را به صفحه پائینی ورق دیگر وصل کند . تا اینجا تا حدودی با هندسه کرمچاله آشنا شدیم .

 

تعریف گروه

 

Group

 

A group is a pair  (G, *) , where G is a non-empty set and " * '' is binary operation on G, that holds the following conditions.

• For any  a, b in G , a*b belongs to G. (The operation " * '' is closed).
• For any  a , b , c in  G ,  (a*b)*c = a*(b*c) . (Associativity of the operation).
• There is an element   e in  G   such that  g*e = e*g = g for any  g in G   . (Existence of identity element).
• For any g in G   there exists an element  h such that  g*h = h*g = e. (Existence of inverses).

Usually, the symbol " * '' is omitted and we write ab for a*b . Sometimes, the symbol " +'' is used to represent the operation, especially when the group is abelian.

It can be proved that there is only one identity element, and that for every element there is only one inverse. Because of this we usually denote the inverse of a as a^-1 or –a when we are using additive notation. The identity element is also called neutral element due to its behavior with respect to the operation, and thus a^-1 is sometimes (although uncommonly) called the neutralizing element of a.

Groups often arise as the symmetry groups of other mathematical objects; the study of such situations uses group actions. In fact, much of the study of groups themselves is conducted using group actions.

 

 

سریها

 

در ریاضی سری عبارت است از مجموع جملات یک دنباله.به عبارت دیگر سری شماری از اعداد است که بین آنها عملگر جمع قرار گرفته است.

...+5+4+3+2+1

سریها بر دو نوعند:سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را می توان با اعمال ساده جبری محاسبه کرد،ولی برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از آنالیز کمک گرفت.
به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.

 
سری نامتناهی، سری میباشد که جملات آن محدود نیست.
به این سری توجه نمایید:

این سری یک سری عددی نامتناهی میباشد.که در حالت کلی به صورت زیر نشان داده میشود.که به آن سری هندسی میگویند.

a را جمله اول و k را قدر نسبت سری می نامند.مجموع n جمله اول یک سری رابا نشان میدهند
در صورتی که به سمت یک عدد متناهی سیر کند آن را همگرا مینامند. در غیر این صورت به آن یک سری واگرا گویند.
حال به معرفی نوع دیگری از سریها به نام سریهای توانی می پردازیم:سریهایی را که جملات آن توابعی از متغیر x باشند را سریهای توانی گویند.و مجموعه مقادیر از x که به ازای آنها توابع موجود در سری تعریف شده و سری همگرا باشد را میدان همگرایی سری گویند.

هر سری تابعی به شکل را یک سری توانی بر حسب میگویند.واضح است که جملات آن به فرم زیردر میآید:

حال به قضیه مهمی به نام قضیه تیلور میرسیم؛طبق این قضیه میتوان هر تابعی را که در یک بازه بینهایت بار مشتق پذیر باشد میتوان در این بازه به صورت یک سری توانی نامتناهی که به سری تیلور معروف است نشان داد.به عنوان مثال تابعی مانند را میتوان به صورت جمع توابعی بر حسب نوشت.
قبل از اینکه به توضیح کامل درباره این سریها بپردازیم.مثالی را در مورد این سریها بیان میکنیم.تابع sinx را در نظر بگیرید.این تابع را میتوان به صورت سری زیر بیان کرد:

لازم به توضیح است که در سری فوق c=0 در نظر گرفته شده است.

در اشکال زیر نمودار سری به ازای n=4؛ n=7 و نمودار sinx از راست به چپ رسم شده است.
همانطور که مشاهده میشود هر قدر تعداد جملات سری افزایش یابد شکل آن به یک منحنی تبدیل مشود.و اگر تا بینهایت رسم شکل ادامه یابد به شکل تابع sinدر مآید.

حال به شکل تابع sinx توجه کنید متوجه میشوید که با ادامه روند رسم اشکال به ازای nهای نامتناهی سرانجام به شکل sinx خواهیم رسید.

حال در زیر به تشریح کامل سریهای تیلور می پردازیم.

بحث جامع

 

 


sinxتخمین تیلور(Taylor)، چند جمله‌ای های از درجه 1، 3، 5، 7، 9، 11 و 13

در ریاضیات، سری‌های تیلور از یک تابع f حقیقی (یا مختلط) که معمولا بطور نامحدود مشتق پذیر بوده و در یک فاصله باز (a-r و a+r ) تعریف شده، بصورت سریهای توانی زیر میباشد:
:

که در آن !n فاکتوریل n و (f ⁽ⁿ⁾(a به معنی مشتق nام f در نقطه a میباشد.

اگر این سریها برای هر مقدار x در فاصله (a-r, a+r) همگرا بوده و مجموع آن برابر (f(x باشد، آنگاه تابع (f(x تحلیلی نامیده میشود. برای اطمینان از همگرایی سریها به (f(x، معمولا از تخمین برای جمله باقیمانده قضیه تیلور استفاده میشود. یک تابع تحلیلی است، اگر و فقط اگر بتوان آنرا بصورت یک سریهای توانی نمایش داد؛ ضرایب در سریهای توانی لزوما همان ضرایبی است که در فرمول سریهای تیلور داده شده است.
اگر a = 0 باشد، این سریها به نامسریهای مک‌لارین(Maclaurin) نامیده میشود.
اهمیت یک چنین سریهای توانی سه جانبه است. اول، مشتق گیری و انتگرال گیری سریهای توانی میتواند جمله به جمله انجام شود لذا بطور خاصی ساده است. دوم، یک تابع تحلیلی میتواند بطرز یکتایی به تابع هولومورفیک(holomorphic) تعریف شده روی یک صفحه باز در روی سطح مختلط، امتداد داده شود، که مکانیزم کامل تحلیل مختلط را فراهم مینماید. سوم، سریهای (کوتاه شده) میتواند برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع استفاده شود.

.

تابع e^-1/x² تحلیلی نیست، مقدار سریهای تیلور 0 است، درحلیکه مقدار تابع غیر صفر است.

توجه داشته باشید که مثالهایی برای توابع (f(x که دارای مشتقات محدود بوده و سریهای تیلور آنها همگرا بوده ولی برابر (f(x نیست، وجود دارد. برای مثال، برای تابع تعریف شده مقطع بصورت (f(x) = exp(−1/x² اگر x ≠ 0 وf(0) = 0،
تمام مشتفات در نقطه x = 0 صفر میباشند، بنابراین سریهای تیلور (f(x صفر بوده، و شعاع همگرایی آن محدود است، اگر چه تابع بطور یقین صفر نمی باشد. این آسیب، توابع ارزشمند- مختلط برای یک متغیر مختلط را مخدوش نمی نماید. توجه اینکه با نزدیک شدن z به سمت 0 در طول محور فرضی (exp(−1/z² به 0 نزدیک نمی شود.

بعضی از توابع را نمیتوان بصورت سریهای تیلور نوشت زیرا آنها دارای حالت استثنایی می باشند؛ در این حالتها، اغلب نیز میتوان به بست سریهایی دست یافت اگر بتوان از توانهای منفی متغیر x استفاده نمود؛ رجوع شود به سریهای لارنت«Laurent). برای مثال، (f(x) = exp(−1/x² را میتوان بر حسب سریهای لارنت نوشت.

قضیه پیشرفت اخیر برای یافتن سریهای تیلوری است که بتواند راهکاری برای معادلات دیفرانسیل باشد. این قضیه توسعه تکرار پیکارد«Picard) میباشد.

فهرست سریهای تیلور

چندین بست سریهای تیلور مهم بشرح ذیل میباشد. تمام این بستها نیز برای متغیرهای مختلط x صادق می باشد.

توابع اکسپتانسیلی و لگاریتم طبیعی:

سریهای هندسی:

قضیه فرعی-جزیی«Binomial» :



توابع مثلثاتی:

 

 

 

 

 

توابع هایپربولیک:

:

:

:

:

:

توابع لامبرت«Lambert's W):

:

اعداد B_k که در بستهای (tan(x و (tanh(x ظاهر می شوند همان اعداد برنولی ، (C(α,n در بستهای فرعی-جزیی ضرایب فرعی-جزیی بوده و E_k در بستهای (sec(x همان اعداد اولر می باشند.

نکته :

سریهای تیلور را به توابع با چند متغیر نیز تعمیم داد.

:

چهار رنگ

 

 

فرضیه چهار رنگ چیست ؟

 

قضیه چهار رنگ به صورت ساده این است: یک نقشه داریم. ثابت کنید می توان کشورها را با 4 رنگ، رنگ کرد به صورتی که هر دو کشور مجاور ناهمرنگ باشند. این مسله برخلاف ظاهر ساده اش سال ها فکر دانشمندان را به خود مشغول داشت تا در حدود 1976 چند دانشمند بعد از این که 25 سال از عمرشان را وقف اثبات این نظریه کردند، توانستند ثابت کنند که اگر برای حدود 10000 نقشه (گراف) ای که لیست شده بودند این کار امکان پذیر باشد آنگاه برای همه ی نقشه ها این کار ممکن است. این تعداد نقشه با کمک کامپیوتر و برنامه ای که آن ها نوشته بودند ، طی روزها تلاش کامپیوتر حل شد. آن ها در واقع در ابتدا قصد استفاده از کامپیوتر را نداشتند ولی ناچار به این کار شدند. بعد کسانی پیدا شدند و گفتند این که نشد اثبات و این دو نفر کلی تلاش کردند که آن ها را قانع کنند که این هم اثبات است و از اثبات 1000 صفحه ای یک قضیه بدتر نیست. ولی هنوز هم دانشمندان در حسرت یک اثبات ساده برای این قضیه هستند. اثباتی که روی کاغذ باشد!

نکته ی دیگر این که این مسله با کمک نظریه گراف حل شد.

 

پوانکاره

 

 

هانری پوانکاره ریاضی دان معروف فرانسوی است که در سال 1854 در خانواده ای به نام و سرشناس در شهر نانسی فرانسه به جهان قدم گذارد. از دوران کودکی فکرش سریعتر از کلمات کار می کرد در پنج سالگی به دیفتری مبتلا شد و در طی نه ماه حنجره اش از کار افتاد و همین مسئله باعث گوشه گیری او شد به طوری که در بازیها نمی توانست شرکت کند. همین موضوع باعث شد که افکارش را متمرکز کند. او از حافظه بسیار خوبی برخوردار بود از شانزده سالگی شوق ریاضیات در پوانکاره بوجود آمد. او کارهای ریاضی را در ذهنش انجام میداد بدون اینکه آنها را یادداشت کند. پوانکاره مهمترین چهره در نظریه معادلات دیفرانسیل و ریاضیدانی است که بعد از اسحاق نیوتن مهمترین کار را در مکانیک آسمانی انجام داد در سال 1873 در راس هم دوره ایهای خود وارد مدرسه پلی تکینک شد استادش در نانسی به وی به عنوان غول ریاضی اشاره کرده است. پس از فارغ التحصیل شدن دوره های مهندسی را در مدرسه معادن ادامه داد و مدتی کوتاه به عنوان مهندس کار کرد واین کار مقارن زمانی بود که مشغول تهیه پایان نامه دکتری در ریاضیات بود این درجه را در سال 1879 گرفت. طولی نکشید که به تدریس در دانشگاه کان مشغول شد و در 1881 استاد دانشگاه پاریس شد و در آنجا تا زمان مرگ تدریس نمود در اوایل 33 سالگی به عضویت فرهنگستان علوم و در 1908 به عضویت فرهنگستان فرانسه انتخاب شد نیز به دریافت تمجیدها و افتخارهایی از فرانسه و کشورهای دیگر نایل آمد.

در سال 1880 در سن 26 سالگی درخشانترین اکتشافات را کرد و شهرت جهانی یافت و آن به سبب کشف دوران ساز تابع های خود ریخت از یک متغیر مختلط بود(خود وی آنها را تابع های فوکسی و کلاینی نیز نامید) و نظریه عمومی توابع را به هم ریخت دارای یک متغیر مختلط یکی از معدود شاخه های ریاضی است که وی تقریباٌ کاری برای پسینیان خود نگذاست اما نظریه توابع فوکس فقط یکی از خدمات متعددی است که او به نظریه توابع تحلیلی کرده است در مقاله کوتاهی که در سال 1883 تنظیم کرد اولین کسی بود که به پژوهش در پیوندهای میان نوعی تابع کامل( که بوسیله خواص تجزیه وایر شتراسی خود به عاملهای اول معین می شود) و ضرایب گسترش تیلری آن یا نرخ رشد مقدار مطلق تابع، پرداخت و از طریق تابع های مطلق به نظریه وسیع و کامل تابع های مرومورفی که هنوز بعد از 80 سال به نحو کامل فیصله نیافته است، رسید.

مهمترین سهم پوانکاره در هندسه جبری مقاله های 1910 تا 1911 او بود در باره منحنیهای جبری محتوی در یک سطح جبری پوانکاره یکی از شاگردان ارمیت بود و بعضی از کارهای آغازینش مربوط می شود به روش ارمیت در باره تحویل مداوم در نظریه حسابی صورتها و بخصوص قضیه متناهی بودن برای طبقه های اینگونه ضورتها که قبلاٌ‌ ژوردان آن را اثبات کرده بود.
بررسی های پوانکاره در باره پیدایش جهان، آنالیز، نور و الکتریسیته و همچنین جبر و احتمالات بسیار مهم و دقیق است وی در فلسفه و علوم نظری صاحب نظر و محقق بود پوانکاره به کشف و حل مسائل بسیاری در ریاضیات نایل آمد که تا آن زمان به پی بردن آن ناتوان بودند کتابهای زیادی در زمینه های گوناگون علمی نوشت که بر جسه ترین آنها در ریاضیات و فلسفه عبارتند از: علم و فرض، علم و روشنی، مفروضات تکوینی، روشهای نوین در مکانیک آسمانی و ارزش علم تعداد کتابهای پوانکاره سی جلد می باشد و صاحب پانصد مقاله است که مربوط به مسائل کاملاٌ‌ مختلف است با کشف توابع فوکس که پوانکاره به دنیای دانش تقدیم نمود برای حل معادلات دیفرانسیل که قبلاٌ‌ریاصیدان آلمانی لازار فوکس کشفیات زیبایی در مورد آنها کرده بود کلید جدیدی به کار برد و به کمک آن نه تنها مشکل معادلات دیفرانسیل را حل کرد بلکه معماری توابع بیضوی را نیزروشن ساخت اکتشافات وی در مبحثی از ریاضی که سابقاٌ آن را تحلیل تواضع می نامیدند و امروزه موسوم به توپولوژی جبری و از بزرگترین و مشکلترین مباحث ریاضی جدید است ارزش قاطع دارد همگی نظریه توابع فوکس از آغاز با اندیشه انتگرال گیری خطی معادله های دیفرانسیل با ضرایب جبری هدایت می شد اما رغبت بیشتر پوانکاره به نظریه‌های نور و موجهای برق مغناطیسی بود. نکته ای که وی در باره امکان ارتباط میان پرتوهای مجهول و پدیده شبتابی گفت آغازگر آزمایشهای هانری بکرل بود که وی را به کشف پرتوزایی رادیو اکتیویته کشانید از سوی دیگر پوانکاره از سال 1899 به بعد در بحثهای مربوط به نظریه الکترونی لورنتس بسیار فعال بود پوانکاره اولین کسی بود که دریافت که تبدیلهای لودنتس تشکیل گروهی می دهند که با گروهی که صورت درجه دوم را نامتغیر می کند هم ریخت است، بسیاری از فیزیکدانان بر این عقیده اند که در اختراع نظریه نسبیت خاص، پوانکاره با لورنتس و آلبرت انیشتین شریک است. انری پوانکاره در بهار 1912 مریض شد و 9 ژوئیه همان سال تحت عمل جراحی قرار گرفت و در 17 ژوئیه سال 1912 وقتی مشغول لباس پوشیدن بود در سن 68 سالگی در گذشت.

آخرین قضیه فرما!!

پیر فرما ریاضیدان فرانسوی قرن 17 میلادی جمله ای را در حاشیه کتابی از خود بر جا گذاشت که یکی از مشهورترین قضایای تاریخ ریاضیات نام گرفت.هر چند او در حاشیه ان کتاب اضافه کرده بود حل ان را در ذهن دارد ولی جای کافی برای نوشتن در اختیار ندارد، این قضیه تا 1994 لاینحل باقی مانده بود.

و اما صورت مساله:

                              xⁿ + yⁿ = zⁿ جواب ندارد.

در سال 1993 با استفاده از نظریه های پیشرفته اندرو وایلز حلی برای آن ارائه کرد که دارای مشکلی بود ولی در سپتامبر 1994 اشکال این حل نوسط خود وایلز وباهمکاری یکی از همکارانش به نام تیلر برطرف شد.

بینهایت یعنی ؟؟؟؟

بی نهایت از واژه لاتین "finitus" به معنی "محدود" گرفته شده ) علامت ( ∞ چیزی است که "محدود" نیست، که در آن هیچ محدودیتی زمانی و فضایی وجود ندارد.

نگرش باستانی در مورد بی نهایت

نگرش باستانی از ارسطو آغاز شده است:

“... تفکر درباره یک عدد بزرگ همیشه ممکن است: چون تعداد دفعاتی که میتوان یک مقدار را به دو نیمه تقسیم کرد، بی نهایت است. بنابراین بی نهایت، امکان بالقوهای است که هرگز بالفعل نمی گردد؛ تعداد اجزایی را که می توان به دست آورد، همیشه از هر عدد معینی بیشتر است.

به این مورد اغلب بی نهایت "بالقوه" اطلاق می شود، بهرحال دو نظریه در این مورد با هم ترکیب شده اند. یکی اینکه همیشه پیدا کردن چیزی هایی که تعداد آنها از هر عددی بیشتر باشد ممکن است، اگرچه آن چیزها عملا وجود نداشته باشند. دیگر اینکه ما می توانیم بدون محدودیتی، اعداد بالاتر از محدود را شمارش کنیم. مثلا "برای هر عدد صحیح n، یک عدد صحیح m (m > n) وجود دارد .دومین نگرش را بصورت واضح تر در آثار نویسندگان قرون وسطایی مثل William of Ockham میتوان یافت:

:"Sed omne continuum est actualiter existens. Igitur quaelibet pars sua est vere existens in rerum natura. Sed partes continui sunt infinitae quia non tot quin plures, igitur partes infinitae sunt actualiter existentes."
):هر زنجیره حقیقتا وجود دارد. بنابراین هر یک از اجزاء آن واقعا در طبیعت وجود دارد. اما اجزاء زنجیره نامحدود هستند چون هیچ عدد بزرگی نیست که عددی بزرگتر از آن نباشد، پس اجزاء نامحدود واقعا وجود دارند.)

اجزاء از بعضی جهات واقعا وجود دارند. بهرحال، در این نگرش، هیچ بزرگی بی نهایتی نمی تواند یک عدد داشته باشد، چون هر عددی را که تصور کنیم، همیشه عددی بزرگتر از آن وجود دارد: "هیچ بزرگی (از لحاظ عددی) نیست که بزرگتر از آن نباشد". Aquinas همچنین بر ضد این نظریه که بی نهایت می تواند از هر جهت کامل یا کلی باشد بحث کرده است .

نگر ش های نوین آغازین

گالیله در زمان بازداشت طولانی در خانه اش در Sienna بعد از محکومیتش توسط استنطاق مذهبی اولین کسی بود که متوجه شد می توان مجموعه ای از بی نهایت عدد را بصورت تناظر یک به یک با یکی از زیر مجموعه های حقیقی آن در کنار هم قرارداد.
با این استدلال مشخص می شود، اگرچه طبیعتا یک مجموعه که بخشی از مجموعه دیگر بوده، کوچکتر است(چون تمام اعضاء آن مجموعه را شامل نمی شود) از بعضی جهات هم اندازه اند. او معتقد بود این یکی از مشکلاتی است که وقتی ما میخواهیم "با ذهن محدود خود" یک امر نامحدود را درک کنیم، پیش می آید.

ادراک ریاضی

درک ریاضی مدرن از بینهایت در اواخر قرن نوزدهم توسط کارهایGeorg Cantor،
Gottlob Frege، Richard Dedekind] و دیگران با استفاده از ایده مجموعه ها، توسعه یافت.برخورد آنها در اصل به قبول ایده ««تناظر یک به یک بعنوان یک استاندارد برای مقایسه سایز مجموعه ها بود، و رد کردن نظر گالیله (که از اقلیدس ناشی شده بود) مبنی بر اینکه کل نمیتواند هم اندازه جزء باشد. یک مجموعه نامحدود را میتوان بصورت ساده طوری تعریف نمود که هم اندازه حداقل یکی از اجزاء "مناسب" آن باشد.

بدینسان کانتور نشان داد که مجموعه های بینهایت میتوانند اندازه های متفاوت داشته باشند، با تمایز بین مجموعه های بینهایت قابل شمارش و بینهایت غیر قابل شمارش، و یک فرضیه اعداد کاردینال را حول این مطلب توسعه داد. نظر او غالب گردید و ریاضیات مدرن عملا بینهایت را پذیرفت. سیستمهای اعداد توسعه یافته مشخصی، مانند اعداد حقیقی، اعداد معمولی(محدود) و اعداد نامحدود را با سایزهای مختلف، متحد می نمایند.

وقتی سروکارمان با مجموعه های نامحدود می افتد، بصیرت کسب شده ما از مجموعه های محدود ازکار میافتد. یک مثال برای این پارادوکس گراند هتل هیلبرت است.

یک سوال فریبکارانه این است که آیا بینهایت عملی در کیهان مادی وجود دارد: آیا تعداد ستاره ها نامحدود است؟ آیا کیهان دارای حجم نامحدود است؟ آیا فضا "تا ابد ادامه" دارد؟ این یک سوال باز مهم در کیهان شناسی است. توجه داشته باشید که سوال از نامحدود بودن بصورت منطقی، غیر از سوال در مورد داشتن مرز می باشد. سطح دو بعدی زمین، برای مثال، محدود است، در حالیکه هیج مرزی ندارد. با راه رفتن / دریانوردی / رانندگی به اندازه کافی طولانی در مسیر مستقیم، شما درست به همان نقطهای که شروع کرده بودید، باز می گردید. کیهان، حداقل در مبادی و اصول، ممکن است بر اساس یک اصل مشابه عمل نماید؛ اگر شما با فضاپیمای خود به اندازه کافی طولانی در مسیر مستقیم و روبروی خود پرواز کنید، شما اتفاقا و بصورت ناگهانی دوباره از همان نقطهای که از آن شروع کرده بودید، می گذرید.

نظریات مدرن

مباحث مدرن درباره بینهایت امروزه بصورت بخشی از تئوری مجموعه و ریاضیات مرد توجه قرار گرفته است، و کلا فلاسفه از بحث درباره آن احتراز می کنند Wittgenstein .یک استثناء بوده است، کسی که حملات مهیجی را علیه بدیهیات تئوری مجموعه، و ایده بینهایت عملی، در "اواسط عمر خود" انجام داد.

بینهایت امروزه به انواع مجوعه های نامحدود زیادی تقسیم شده است، مانند aleph-null، یک سری قابل شمارش از اعداد طبیعی، و beth-one، یک سری غیر قابل شمارش مانند تعداد کمانهای موجود در یک دایره یا تعداد نقاط روی یک خط، و یک تعداد نامحدود از چیزهای دیگر.

:"آیا معادله m = 2n گروه تمام اعداد را با زیرگروههایش مرتبط می کند؟ خیر. آن هر عدد دلخواهی را با دیگری مرتبط می سازد، و بدین ترتیب ما به گروههای زوج نامحدود وارد می شویم، که هرکدام به دیگری مرتبط میباشد، ولی هرگز به گروه یا زیرگروهی مرتبط نیستند. هیچیک از این دو، یکجوری خودش یا دیگر گونه از یک زوج گروه، فرآیند نامحدود نمی باشند ... در موهومات که m = 2n یک گروه را با زیرگروههایش مرتبط می سازد، هنوز ما صرفا یک حالت از دستور زبان دوپهلو را خواهیم داشت." (Philosophical Remarks ? 141, cf Philosophical Grammar p.465)

مطلق

سوال دیگر این است که آیا ادراک ریاضی از بینهایت ارتباطی با ادراک مذهبی از خدا دارد؟ این سوال هم کانتور را، با عقیده اش در مورد بینهایت مطلق که با خدا برابر قرارداده شده است، و هم Kurt Godel را با اثبات ؟؟؟ Godel's ontologicalاش از وجود یک نهاد که او آنرا به خدا وابسته کرد، مخاطب خود قرار داده است.

عدد طلایی

عدد طلائی عددیست ، تقریباَ مساوی 1.618 ، که خواص جالب بسیاری دارد ، و بعلت تکرار زیاد آن در هندسه ، توسط ریاضیدانان کهن مطالعه شده است . اشکال تعریف شده با نسبت طلائی ، از نظر زیبائی شناسی در فرهنگهای غربی دلپذیر شناخته شده، چون بازتابنده خاصیتی بین تقارن و عدم تقارن است.

دنیای اعداد بسیار زیباست و شما می توانید در آن شگفتیهای بسیاری را بیابید. در میان اعداد برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد میرسد عددی است بنام "نسبت طلایی" یا Golden Ratio. این نسبت هنوز هم بارها در هنر و طراحی استفاده می شود . نسبت طلائی به نامهای برش طلائی ، عدد طلائی ، نسبت الهی نیز شناخته می شود و معمولاَ با حرف یونانی ، مشخص می شود.

تعریف

نحوه محاسبه نسبت عدد طلائی

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید. اگر این معادله ساده یعنی را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا
1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.

کاربردها

برش اهرام و نسبت طلائی

شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود. بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد.
برش اهرام و نسبت طلایی اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا" 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi2=phi+b2 خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا" عدد طلایی را با phi نمایش می دهند)

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

عدد طلائی از دیدگاه کپلر

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد".

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد.همچنین کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.

نسبت طلائی در طبیعت

در طول بدن دلفین نمونه هایی از نسبت طلائی وجود دارد.ابعاد بال پشتی (رنگ زرد و سبز)از نسبت طلائی تبعیت میکند.در ضخامت دم دلفین نیز این نسبت دیده میشود.

	به اشکال شبیه چشم روی بدن پروانه که علامت گذاری شده است،توجه کنید.نسبت فواصل طولی و عرضی این علائم یک نسبت طلائی است.
پوسته مارپیچی یک حلزون نمونه ای ساده ودرعین حال زیبا، از نسبت طلائی است.

عدد پی: Pi

 

در ریاضیات چند عدد وجود دارد که بسیار مهمند، حتی از نظر تاریخی.در این قسمت می خواهم در مورد عدد معروف پی براتون مطالبی ارائه کنم .امیدوارم خوشتون بیاد.

 

فیلم "پی _ Pi"

كارگردان:دارن آرنوفسكي ,بازيگران:شان گولت-1997

«اسرار جهان را نه تو داني و نه من»

چندين سال پيش از اين يونانيان نوعي رموز ماورايي را در هندسه پيدا كردند.حال در آستانه هزاره سوم ميلادي ،دارن آرنوفسكي قهرمانش را به جنگ شياطين فرستاده چون  او به كشف عددي كه راز آفرينش را در خود نهفته دارد بسيار نزديك شده است....

تيتراژ فيلم يادآور كارهاي فينچر است كه با يك آهنگ رازگونه عدد پي را در چندين خط محاسبه مي كند گويي مي خواهد بگويد: اين راز همچنان ادامه دارد.مكس ،رياضيدان نابغه اي است كه سعي در كشف الگوهاي رياضي در تمامي مظاهر هستي دارد.او به همراه ابر كامپيوترش Euclid(اقليدس)قادر به محاسبه الگوي نهفته در پس تجارت كالاها خواهد شد كه به او اين امكان را مي دهد كه آينده بازار را به دقت پيشگويي كند.موفقيت او توجه گروههاي وال استريت را كه به دنبال فرمولي براي بازار هستند و نيز گروهي مخفي از يهوديان را كه به دنبال كليد اسم اعظم خدا هستند به خود جلب مي كند....
مكس از سردردهاي مزمن رنج مي برد و با مسكنهاي مختلف سعي در تسكين دردهايش دارد.مكس همچون پيامبر معاصر است كه تمامي الام بشري را تحمل مي كند و به مبارزه با گروههاي تندرو مذهبي و شيطانهاي برون و درونش مي پردازد.مكس اسير دانسته هايش است و اين موضوع را در ابتداي فيلم مي بينيم كه او را در پشت نرده ها در حال حركت نشان مي دهد در حالي كه مردم عادي در بيرون در حال ورزش هستند.دوست مكس كه چهل سال را صرف يافتن راز عدد پي كرده به او مي گويد كه تو خيلي بالا پرواز مي كني.مواظب باش بالهايت نسوزد.
you fly too high.You`ll get burned. (همچون ايكاروس) او مانند داداشي در داستان پري گويي اين مراحل را گذرانده است.
در فيلم رويا و واقعيت درهم مي آميزد و كابوسهاي مكس و زندگي واقعيش در هم مي آميزد.در صحنه اي او مغز تپنده اش را در ايستگاه مترو مشاهده مي كند و با قلم به آن مي زند كه صداي قطار به گوشش مي رسد انگار مي خواهد بگويد كاري با اين راز نداشته باش و در صحنه اي ديگر مغزش را در دستشويي در محاصره مورچه ها مي بيند كه آن را در هم مي كوبد....گويي مي خواهد از شر اين نبوغ ناخواسته رهايي يابد.صحنه هاي فيلم مملو از تصاوير نقطه ديد تب آلود مكس است كه با دوربين روي دست برداشته شده است.در اين چشم اندازها حتي ديوارهاي شهر هم پوشيده از نوشته است و در تمامي اين لحظات هم موسيقي بر تعليق فيلم مي افزايد.كلا موسيقي فيلمهاي آرنوفسكي همچون يك ترجيع بند است كه همراه با تنهايي و استيصال قهرمانش گويي مي خواهد نه شاهد مرگ تدريجي كه شاهد مرگ هزار باره او باشد.علاوه بر اين فيلمبرداري سياه و سفيد فيلم و نورپردازي آن اشاره اي به فيلمهاي اكسپرسيونيستي چون مطب دكتر كاليگاري است.اوج تصوير برداري فيلم زماني است كه دوربين كمي از چهره مكس پايين تر قرار گرفته و او را در پسزمينه اي سفيد نشان مي دهد كه بعد تصوير سفيد مي شود....گويي از ابتدا هيچ نبوده است.فيلمبرداري معركه روي دست ،بخصوص در هنگام تعقيب و گريزها و بحرانهاي مكس بخوبي درماندگي او را نمايش مي دهد.
در پايان به نظر مي رسد كه مكس دست از جستجو در اسرار الهي بر مي دارد و رستگار مي شود.او در پاسخ رهبر يهودي كه عقيده دارد يك انسان پاك بايستي اين رمز 216 رقمي را براي ظهور مسيح بگويد مي گويد كه من ملكوت آسمانها را ديده ام...من همه چيز را ديده ام.و وقتي كه اصرار مي كنند مي گويد اين فقط يك عدد است نه چيز ديگر.در هر حال مكس با مته مغزش را سوراخ مي كند و در پاسخ  دختر بچه شرقي كه از او يك حاصلضرب را مي پرسد يك پاسخ ساده مي دهد كه بايد در برابر عظمت دنيا بدهد:نمي دانم!

pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi

 

 عدد پی

يونان باستان مساحت هر شكل هندسي را از راه تربيع آن يعني از راه تبديل ان به مربعي هم مساحت بدست مي آوردند.از اين راه توانسته بودند به چگونگي محاسبه هر شكل پهلو دار پي ببرند . آن گاه كه محاسبه مساحت دايره پيش امد دريافتند كه تربيع دايره مسئله اي ناشدني مي نمايد . در هندسه اقليدسي ثابت شده بود كه نسبت محيط هر دايره به قطر آن عدد ثابتي است . و مساحت دايره از ضرب محيط در يك چهارم آن بدست مي ايد و مسئله بدان جا انجاميد كه خطي رسم كنند كه در ازاي آن با آن مقدار ثابت برابر باشد  رسم اين خط ناشدني است .سرانجام راه چاره را در آن ديدند كه يك مقدار تقريبي مناسب براي آن مقدار ثابت بدست آورند .

     ارشميدس كسر بيست و دو هفتم را بدست آورد كه ساليان دراز آن را به كار مي بردند .پس از آن و براي محاسبات دقيقتر كسر سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده را به كار بردند. اختلاف بين عدد پي و مقدار تقريبي سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده فقط حدود سه ده ميليونم است .

     رياضي دان بزرگ ايراني جمشيد كاشاني براي نخستين بار مقدار ثابت نسبت محيط به قطر دايره را بدست آورد كه تا شانزده رقم پس از مميز دقيق بود  اين رياضي دان و منجم مسلمان ايراني توانست مقدار دوبرابر پی راتا شانزده رقم اعشار در رساله محيطيه برابر 6.2831853071795865  بدست آورد .

     در جمله ي زير هرگاه تعداد حرف هاي كلمه ها را در نظر بگيريد مقدار عدد پي تا ده رقم پس از مميز  بدست خواهد آمد :

 

     خرد و بينش و آگاهي دانشمندان ره سر منزل مقصود به ما آموزد

 

حال امروزه در محافل بین المللی و مجامع ریاضی دوست روز سوم ماه مارس هر سال را به عنوان روز عدد پی در نظر میگیرند.(3/14 این تاریخ روز سوم مارس هست که همان مقدار عدد پی نیز میباشد.به این دلیل سوم مارس شده روز پی).در این روز برنامه های متنوعی اجرا میشود . از قبیل مسابقات ریاضی و مسابقه سیب خوری و... .

روز عدد پی بر همگان مبارک باد.

و اما یک نکته. ایا شده تا بحال از خودتون بپرسید که این پی 3.14 هست یا 180 درجه .خوب جریان 3.14 رو که خوندین.حالا نوبت به 180 میرسه .میدونید که محیط دایره 360 درجه هست .حال اگر ما بر روی محیط دایره (شعاع دایره یک سانتیمتر باشد)هر یک سانتیمتر را جدا کنیم مشاهده میشود دایره به 6.28 قسمت تقسیم میشه .اونوقت نصف دایره میشه 3.14 قسمت که 180 درجه هست.

 

راستی( داشت یادم می رفت)

 

يه آقاي ايراني ادعا كرده كه عدد پي 3.15 هست نه 3.14
و با محاسبات هم نشون داده
اينم سايتش http://www.dinbali.com
اگه اينطوري باشه يه تحول بزرگ در رياضيات بوجود مياد
نظر شما چيه
كاش يكاري ميكرد عدد پي اصلا از رياضيات حذف ميشد فكرشو بكن چي ميشد
سينوس كسينوس پر - بخش زيادي از حسابان پر -بخش هايي از ديفرانسيل پر -ديگه همه چي پر

باز هم موفقیت ما ایرانیها !!!!

با تلاش دو دانشمند ايراني يكي از مسائل رياضي پس از 20 سال تلاش ناموفق رياضيدانان جهان حل شد

محققان پژوهشكده رياضيات پژوهشگاه دانش‌هاي بنيادي با ساخت «ماتريس آدامار از مرتبه 428 » به 20 سال تلاش ناموفق رياضيدانان جهان در اين زمينه پايان دادند. به گزارش بخش خبر سایت اخبار فن آوری اطلاعات ایران، به نقل از ایسنا، اين موفقيت علمي كه با تلاش دكتر هادي خرقاني، استاد دانشگاه « لث بريج » كانادا و محقق ميهمان پژوهشگاه دانش‌هاي بنيادي و دكتر بهروز طايفه رضايي، عضو هيات علمي پژوهشگاه حاصل شده، بازتاب قابل ملاحظه‌اي در محافل علمي رشته «تركيبيات» داشته و در برخي از وب سايت‌هاي معتبر اين رشته انعكاس يافته است. دكتر طايفه رضايي در این گفت‌و‌گو اظهار داشت: محاسبات مربوط به ساخت «ماتريس آدامار از مرتبه 428‌» با استفاده از يك شبكه محاسباتي شامل 16 رايانه شخصي 6/2 گيگاهرتز در مدت حدود 12 ساعت - كه از لحاظ مدت زمان كوتاه نيز در نوع خود ركوردي محسوب مي‌شود - انجام شده و بدين ترتيب علاوه بر اين ماتريس، تعداد زيادي ماتريس آدامار ديگر نيز كه پيش از اين نامعلوم بوده‌اند، ساخته شده‌اند. وي با اشاره به اينكه يكي از گروه‌هاي تحقيقاتي اروپايي با وجود سه سال تلاش بي‌وقفه با بهره‌گيري از تعداد بيشتري رايانه موفق به ساخت اين ماتريس نشده‌ بود، خاطرنشان كرد: ما با دستيابي به روش‌هايي جديد، محاسبات پيچيده ساخت ماتريس را كاهش داده و توانستيم در مدتي كوتاه به اين ماتريس دست يابيم. عضو هيات علمي پژوهشگاه دانش‌هاي ‌بنيادي تصريح كرد: ماتريس‌هاي آدامار يكي از زمينه‌هاي مهم تحقيق در«تركيبيات» است كه در سال‌هاي پس از جنگ جهاني دوم مورد استفاده عملي فراواني پيدا كرده‌اند. يكي از موارد استفاده جالب اين ماتريس‌ها در كدگذاري تصاويري است كه توسط سفينه‌ها از ساير سيارات ارسال مي‌شود. اين ماتريس‌ها همچنين در زمينه‌هايي همچون نظريه رمزنگاري، پردازش سيگنال‌ها، نظريه طرح‌ها و آزمايش‌هاي آماري كابرد دارند. وي افزود: كوچكترين ماتريس آدامار ناشناخته دردهه 70 ازمرتبه 268 بود كه درسال 1985، اين ماتريس ساخته شد و بدين ترتيب ماتريس‌هاي آدامار از مرتبه‌هاي كوچكتر از 428 معلوم شدند. با ساخت ماتريس آدامار از مرتبه 428، كه پس از دو دهه تلاش ناموفق گروه‌هاي متعدد تحقيقاتي در نقاط مختلف دنيا حاصل شده كوچكترين ماتريس آدامار نامعلوم از مرتبه 668 است. دكتر طايفه رضايي در پايان خاطرنشان كرد: با دستيابي به اين ماتريس، مساله وجود ماتريس‌هاي آدامار با هر مضرب 4 كه به «حدس آدامار» معروف است، تقويت مي‌شود.

گالوا اعجوبه ریاضی

گالوا را من همیشه اعجوبه تاریخ ریاضیات میدونم. البته از اين عجوبه ها تو تاريخ زياد داريم.

امكان نداره كسي درعالم رياضي مطالعه داشته باشه و نام اين رياضيدان فرانسوي رو نشنيده باشه. كارهاي گالوا در رياضيات پايه گذار جبر مدرن هست اصلا" اصطلاح Groups توسط ايشون وارد رياضيات شد و تئوري گروه ها از جمله كارهاي اين آقا هست. اون در سال 1811 در پاريش بدنيا آمد و متاسفانه در سال 1832 اگه اشتباه نكم در يك دوئل ساختگي كه دشمنانش براي اون ترتيب داده بودند كشته ميشه. اون وقتي 18 ساله بود خلاصه اي از تئوري هاي جبر خودش رو براي فوريه ميفرسته ولي ظاهرا" ايشون چيز زيادي از اون دستگيرش نميشه. تازه حدود 14 سال پس از مرگش كارهاي او مورد توجه رياضيدانان قرار گرفت و در سال 1870 جردن ديگر رياضيدان فرانسوي روي آثار اون تحقيق كرد و پس از انتشار آنها اواريست گالوا تبديل به يك چهره مشهور در سراسر جهان شد. اون آدم عجيبي بود در طول مدت كوتاه زندگي خودش )يعني 21 سال!) علاوه بر فعاليت هاي رياضي يك جورايي هم سياسي بود و دوبار بخاطر اقدام عليه حكومت وقت فرانسه به زندان افتاد.

زمينه كاري گالوا چيزي نبود كه عامه مردم اونو درك كنند يا از اون استفاده كنند. ولي اگه جبر خطي بدونيد ميبينيد كه تو عالم رياضيات اين جوان 21 ساله تونست يه نقطه عطف ايجاد كنه، چيزي شبيه انتقال دوران باروك به كلاسيك توسط موتزارت. جمله زير از گالوا، يكي از معروفترين جملاتيه كه در رياضيات از زبان بزرگان اين قوم تا حالا گفته شده :

"Unfortunately what is little recognized is that the most worthwhile scientific books are those in which the author clearly indicates what he does not know; for an author most hurts his readers by concealing his difficulties."