دهه ریاضی

 

 دهه اول آبان دهه ریاضی  را به تمامی اساتید و دانشجویان ریاضی تبریک میگویم

ركات زنبورها :

معني ركات زنبورها :

زنبوري كه داخل كند و مي شود و مي خواهد به ديگران اطلاع دهد كه چه چيزي را كشف كرده است ( ويزيتور ) با شتاب داخل مي شود و به زنبورها تنه مي زند . اگر بيشتر حركت كند مي خواهد بفهماند كه منبع بزرگي از شيره گلها پيدا كرده است و راه آن نزديك است و بايد كارگران بسياري براي جمع آوري آن بروند . زنبورها به همسايگان خود جهتي را كه بايد براي رسيدن به هدف انتخاب كنند ، نيز نشان مي دهند . زنبور پس از اينكه عطر گل را در فضا پخش كرد . حركاتي شبيه به رقص انجام مي دهد . در عين حال كه شكم را حركت مي دهد . مستقيماً به جهتي مي رود و ديگر شكم خود را حركت نمي دهد و به نقطه حركت خود بر مي گردد . مجدداً در حالي كه متوجه جهت اوليه است ، پرواز مي كند و بعد به چپ متمايل مي شود . اين حركات به مدت دو دقيقه ادامه مي يابد . اگر مكاني كه مي خواهد زنبورها را به آن راهنمايي كند ، در جهت خورشيد باشد ، زنبور در ميان كندو ، از پايين به طور قائم حركت مي كند ، ولي اگر از بالا به پايين حركت كند مي خواهد بفهماند كه زنبورها بايد به پشت خورشيد حركت كنند . در صورتي كه لازم باشد در حركت ، زنبورها در سمت راست يا چپ با خورشيد زاويه اي حاده يا متفرجه تشكيل دهند ، زنبور آن زاويه را در كندو به آنها نشان مي دهند چون داخل كندو تاريك است ، زنبورهاي ديگر به وسيله آنتن هاي خود حركات رقص زنبور راهنما را دنبال مي كنند هنگامي كه خورشيد در پشت ابرها پنهان باشد باز هم زنبورها مي توانند جهت خورشيد را تشخيص دهند كارل فن فريش به سهولت اين موضوع را ثابت كرده است .

« اگر باد در خلاف جهت منبع غذايي باشد ، رقص زنبور كند صورت مي گيرد و اگر باد موافق جهت منبع باشد تند مي رقصند . اگر در اين مسير زنبورها با باد شديدي مقابله كنند ، زنبور با رقص خود فاصله اي پيش از فاصله واقعي را نشان مي دهد . در صورتي كه باد موافق ، پرواز را آسان كرده باشد ، عكس اين كار را انجام مي دهد . »

زنبور پيش آهنگ ، نه تنها جهت حركت را به آنها نشان مي دهد بلكه فاصله دقيق منبع را از كندو معين مي كند . براي تعيين اين فاصله سرحت حركت خود را هنگام طي دايره هايي كه مي پيمايد ، تغيير مي دهد . كارل فن فريش نسبت ميان فواصل و سرعت ها را حساب كرد و نتيجه گرفت كه هر چه منبع غذايي نزديك تر باشد سرعت دوران زنبور بيشتر خواهد بود .

آزمايشات نشان داده است كه زنبورها از روي حركات زنبور پيش آهنگ فاصله دقيق را حساب مي كنند و هنگام پرداز آن را در نظر مي گيرند .

البته قابل ذكر است كه زنبورهاي پيش آهنگ علامت ديگري به همكاران خود مي دهند كه آنها از كندو بيرون مي آيند و بعد از روي رقص زنبورهاي پيش آهنگ مسافت را تشخيص مي دهند .

هنگامي كه زنبور اولين دور رقص خود را تمام كرده و مجدداً مي خواهد شروع كند با مرتعش ساختن بال هايش صداي « وز وز » را به گوش مي رساند . هنگامي كه به آخرين دور خود رسيد ، سكوت مي كند .

قابل توجه است كه زنبوران عسل با حركات رقص خود نمي توانند ، ارتفاع را نسبت به سطح زمين تعيين كنند . اين واقعيت را آزمايش زير به اثبات مي رساند :

« روزي ظرفي محتوي شربت را به نوك آنتن بي سيمي كه درست برفراز كندو قرار داشت وصل كردند البته ديري نگذشت كه ويزيتورها جاي آن را كشف كردند ولي نتوانستند اين كشف را به ساير زنبورها جبر دهند . بيهوده و به همين طريق ممكن قابل تصور رقصيدند و با پيچ و تاب دادن شكم اين سو و آن سو شدند با اين همه نتوانستند كاري جز گمراه كردن ياران خود انجام دهند . »

نقل از نشريه رجاء نشريه انجمن علمي آموزشي معلمان استان قزوين

 

 

Cantor Set

 

 The cantor set cis a subset of the unit interval, with the subspace topology.  Delete (1/3,2/3), then (1/9,2/9) and (7/9,8/9), and so on, removing the middle third of segments forever.

Notice that the section of c from 0 to 1/3, when magnified, looks exactly like c.  This is an early example of a fractal, although fractal geometry was not known at the time.  Cantor simply thought it was a beautiful set, and indeed it is.

If x is in the complement of c, then it was removed at some point, as part of an open interval.  The complement is open, and c is closed.

Being a closed subspace of [0,1], c is compact.

Since c is a closed subspace of a complete metric space, it too is a complete metric space.

Let s be a sequence of zeros and ones.  If s₁ = 0, select the interval [0,1/3].  If s₁ = 1, select the interval [2/3,1].  If s₂ = 0, select the first third of the interval previously selected, and if s₂ = 1, select the last third of the interval previously selected.  This continues forever, building a chain of descending closed intervals whose lengths approach 0.  This chain always converges to a point, which we will call x.  Furthermore, x does not lie in the middle third of any segment, hence x has never been deleted, and x belongs to c.  We have a map from binary sequences into c.

Different sequences will diverge at some point, living in disjoint intervals thereafter.  Thus the map is 1-1.

Finally, let x be a point in the cantor set c.  At each step, x lies in the first or last third of the prior interval.  If it were in the middle third it would not lie in c.  Thus, at each step, s_n can be set to 0 or 1.  The resulting sequence converges to some y in c, and if y is not equal to x, then s_n goes down the wrong path at some point, moving towards y instead of x.  This contradicts the construction of s, hence s defines x.  The map is onto, and the points of c correspond 1-1 with the infinite binary sequences, which are sometimes written 2^ω.

As a corollary, the points of c are uncountable.

The binary sequences can be given an order topology.  This is based on lexicographic order, where 10101... is greater than 10100..., and so on.  Verify that the map from sequences into c respects order.  Thus 2^ω and c are homeomorphic.

 

From Sequences to Reals

It's a little bit off topic, but a similar construction shows ω^ω is homeomorphic to the nonnegative reals.  If s₀ = n then restrict attention to the interval [n,n+1).  If the next integer s₂ = 0, select, from the prior interval, the range [0,1/2).  If s₂ = 1 then select [1/2,3/4).  If s₂ = 2 select [3/4,7/8), and so on.  with this interval established, move to s₃, and select a slice of this interval in exactly the same way.  Continue this process forever, homing in on x.  Technically, each step establishes a half open interval, but you can think of them as closed intervals, giving a descending chain of closed intervals that converges to a point.  As before, this point has to be x.  The map is 1-1 and onto, and it respects order - lexicographic order in the infinite sequences and linear order in the reals.  The two spaces are homeomorphic.

 

trace

trace (linear algebra)

In linear algebra, the trace of an n-by-n square matrix A is defined to be the sum of the elements on the main diagonal (the diagonal from the upper left to the lower right) of A, i.e.

tr(A) = A_1,1 + A_2,2 + ... + A_n,n.

where A_ij represents the (i,j)'th element of A. The use of the term trace arises

 from the German term Spur (cognate with the English spoor).

Properties

The trace is a linear map. That is,

tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

tr(rA) = r tr(A)

for all square matrices A and B, and all scalars r.

Since the principal diagonal is not moved on transposition, a matrix and its transpose have the same trace:

tr(A) = tr(A^T).

If A is an n×m matrix and B is an m×n matrix, then

tr(AB) = tr(BA).

Note here that AB is an n×n matrix, while BA is an m×m matrix.

Using this fact, we can deduce that the trace of a product of square matrices is equal to the trace of any cyclic permutation of the product, a fact known as the cyclic property of the trace. For example, with three square matrices A, B, and C,

tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).

More generally, the same is true if the matrices are not assumed to be square, but are so shaped such that all of these products exist.

If A, B, and C are square matrices of the same dimension and are symmetric, then the traces of their products are invariant not only under cyclic permutations but under all permutations, i.e.,

tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA) = tr(BAC) = tr(CBA) = tr(ACB).

The trace is similarity-invariant, which means that A and P⁻¹AP (P invertible)

 have the same trace, though there exist matrices which have the same trace but are not similar. This can be verified using the cyclic property above:

tr(P⁻¹AP) = tr(PP⁻¹A) = tr(A)

Given some linear map f : V → V (V is a finite-dimensional vector space) generally, we can define the trace of this map by considering the trace of matrix representation of f, that is, choosing a basis for V and describing f as a matrix relative to this basis, and taking the trace of this square matrix. The result will not depend on the basis chosen, since different bases will give rise to similar matrices, allowing for the possibility of a basis independent definition for the trace of a linear map. Using the canonical isomorphism between the space End(V) of linear maps on V and V⊗V^*, the trace of v⊗f is defined to be f(v), with v in V and f an element of the dual space V^*.

Eigenvalue relationships

If A is a square n-by-n matrix with real or complex entries and if λ₁,...,λ_n are

 the (complex) eigenvalues of A (listed according to their algebraic multiplicities), then

tr(A) = ∑ λ_i.

This follows from the fact that A is always similar to its Jordan form, an upper triangular matrix having λ₁,...,λ_n on the main diagonal.

From the connection between the trace and the eigenvalues, one can derive a connection between the trace function, the matrix exponential function, and the determinant:

det(exp(A)) = exp(tr(A)).

The trace also prominently appears in Jacobi's formula for the derivative of the determinant (see under determinant).

Other ideas and applications

If one imagines that the matrix A describes a water flow, in the sense that for every x in Rⁿ, the vector Ax represents the velocity of the water at the location x, then the trace of A can be interpreted as follows: given any region U in Rⁿ,

the net flow of water out of U is given by tr(A)· vol(U), where vol(U) is the volume of U. See divergence.

The trace is used to define characters of group representations. Given two representations A(x) and B(x), they are equivalent if tr A(x) = tr B(x).

The trace also plays a central role in the distribution of quadratic forms.

A matrix whose trace is zero is said to be traceless or tracefree.

Inner product

For an m-by-n matrix A with complex (or real) entries, we have

tr(A^*A) ≥ 0

with equality only if A = 0. The assignment

= tr(A^*B)

yields an inner product on the space of all complex (or real) m-by-n matrices.

If m=n then the norm induced by the above inner product is called the Frobenius norm of a square matrix. Indeed it is simply the Euclidean norm if the matrix is considered as a vector of length n².

 

رابطه بين رياضي وفيزيك

نگرش كلي:

فيزيك علمي است كه قوانين حاكم بر جهان طبيعت را بصورت مدون بيان مي كند. بنابراين براي ارائه اين قوانين بصورت معادلات و روابط رياضي ، لازم است كه يك فيزيكدان بايد با اصول و قوانين اساسي رياضي آشنا باشد.

التبه در بعضي از علوم ديگر مانند شيمي نيز اين ضرورت احساس مي شود، ولي اغراق آميز نيست بگوييم كه رياضيات بعنوان الفباي فيزيك مي باشد. اين ضرورت سبب شده است كه درسي تحت عنوان روشهاي رياضي در فيزيك ايجاد شود.
ضرورت با هم بودن رياضي و فيزيك:

اگر تاريخچه پيدايش علوم را مورد توجه قرار دهيم. ملاحظه مي گردد كه فيزيك در رياضي معمولا پا به پاي هم گسترش و رشد يافته اند. و اكثر فيزيكدانان قديمي ، رياضيدان نيز بوده اند. بعنوان مثال به اسحاق نيوتن ، گاليله و ديگران اشاره كرد. علاوه بر اين هر مبحث فيزيك را مد نظر قرار دهيم، ملاحظه مي كنيم كه به نوعي دريايي از رياضيات در آن وجود دارد.

به فرض اگر مبحث سينماتيك حركت را مورد توجه قرار دهيم، خواهيم ديد كه اگر بخواهيم سرعت و يا شتاب را تعريف كنيم، بايستي با قوانين مشتقگيري آشنا باشيم تا بتوانيم بگوييم كه مشتق مكان در هر لحظه برابر سرعت لحظه اي و مشتق سرعت در هر لحظه ، شتاب لحظه اي خواهد بود.



اولين قدم در رياضي فيزيك:
اولين گام در مطالعه رياضي فيزيك ، آشنايي با آناليز برداري است. چون مفاهيم برداري نقش اساسي را در فيزيك بازي مي كند. يعني زماني كه يك كميت فيزيكي را تعريف مي كنيم، ابتدا بايد به آناليز برداري مراجعه كرده و تكليف اين كميت را از لحاظ برداري ، اسكالر بودن مشخض كنيم، تا بعد بتوانيم خواص و ويژگيهاي اين كميت را بيان كنيم.


پايه هاي رياضي فيزيك:
• آناليز برداري
• دستگاههاي مختصات
• جبر برداري
• جبر كليدي
• جبر لي
• قضاياي برداري
• قوانين تبديل مختصات به يكديگر
• جبر تانسوري
• دترمنيان ، ماتريس و نظريه گروه
• توابع مختلط
• توابع مختلط
• جبر توابع مختلط
• بسطهاي توابع مختلف
• حساب مانده‌ها
• توابع خاص

آينده رياضي فيزيك:

امروزه با پيشرفت علوم كامپيوتري كه توانايي انجام محاسبات بسيار پيچيده رياضي را در زمانهاي بسيار كوتاه دارند، بيشتر فعاليتها در راستاي استفاده هر چه بيشتر از رايانه براي حل معادلات رياضي ، محاسبات طولاني رياضي ، قرار دارد. به عبارت ديگر پيشرفت علوم رياضي بويژه رياضي فيزيك با پيشرفت علوم كامپيوتري همسو شده است.

 

حدس گلدباخ

 

انگاره‌ی گلدباخ (حدس گلدباخ) از جمله معروف‌ترین مسایل حل نشده‌ی ریاضیات می‌باشد.برای درک این مساله تنها کافیست با مفهوم اعداد اول آشنا باشید. این انگاره چنین است:

هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 2 حاصل‌جمع دو عدد اول است.

صورت معادل آن چنین است:

هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 5 حاصل‌جمع سه عدد اول است.

تاریخچه

گلدباخ (1690 – 1764) به خاطر این حدس که آن را در سال 1742 در نامه‌ای به اویلر مطرح کرد، نامش در تاریخ ریاضیات باقی مانده است. او ملاحظه کرد در هر موردی که امتحان می‌کند، هر عدد زوج را (به جز 2 و 5) می‌توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.اویلر حدس گلدباخ را تعمیم داد به طوری‌که هر عدد زوج بزرگ‌تر از 2 را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. مثلاً

4=2+2 , 6=3+3 , 8=5+3 , 10=5+5 , 12=5+7 , 14=7+7 , 16=13+3 , 18=11+7 , 20=13+7 , … , 48 = 29 +19 , … , 100 = 97 + 3 , …

گلدباخ از اویلر پرسید که آیا می‌تواند این مطلب را برای همه عددهای زوج ثابت کند و یا اینکه مثال نقضی برای آن بیابد؟ شواهد تجربی در تایید اینکه هر عدد زوج به این صورت قابل نمایش است، کاملاً قانع‌کننده است و هر کسی می‌تواند با امتحان کردن چند عدد زوج، این موضوع را تحقیق کند. منشأ دشواری در این است که عددهای اول بر حسب ضرب تعریف می‌شوند در حالی که این مسأله با جمع سروکار دارد. به طور کلی، اثبات رابطه بین ویژگیهای ضربی و جمعی اعداد صحیح کار مشکلی است.

---

تلاش‌ها برای اثبات

• در سال 1931 اشنیرلمان (1905-1938) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود موفقیت مهمی در این زمینه به دست آورد که برای همه متخصصان غیرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر 300000 عدد اول نمایش داد. گر چه این نتیجه در مقایسه با هدف اصلی یعنی اثبات انگاره‌ی گلدباخ مضحک به نظر می‌رسد، ولی این نخستین گام در آن جهت بود. این اثبات مستقیم و سازنده است، اما هیچ روش خاصی برای تجزیه یک عدد صحیح دلخواه به اعداد اول ارائه نمی‌کند.
• بعدا وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی ، لیتلوود و همکار هندی برجسته آنها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد ، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از 300000 به 4 کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیکتر است ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان 300000 و 4 باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح «به اندازه کافی بزرگ» ثابت شده است؛ به بیان دقیقتر، او ثابت کرد عدد صحیح N ای وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر 4 عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و بر خلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است. در حقیقت، چیزی که وینوگرادوف ثابت کرد این است که فرض نامتناهی بودن تعداد عددهای صحیحی که قابل تجزیه به حداکثر 4 عدد اول نیستند، به نتیجه نامعقولی می‌انجامد. در اینجا با نمونه خوبی از تفاوت عمیق میان دو نوع اثبات، مستقیم و غیرمستقیم، رو به روییم.
• در سال 1956 باروتسکین با نشان دادن اینکه عدد exp(exp(16/038))=n در قضیه وینوگرادف کافیست گام دیگری در این راه نهاد.
• در 1919 ویگوبرون رویکرد متفاوتی با عنوان روش غربال مطرح کرد که تعمیمی از غربال اراتستن است. او ثابت کرد هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع دو عدد است که هر کدام از آنها حاصل‌ضرب حداکثر 9 عدد اول هستند.
• در 1937 ریچی ثابت کرد هر عدد زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد مجموع دو عدد است که یکی حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول و دیگری حاصل‌ضرب حداکثر 366 عدد اول است.
• کُن با بهره‌گیری از ایده‌های ترکیبیاتی بوخشتاب ثابت کرد هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع دو عدد است که هر یک حاصل‌ضرب حداکثر چهار عدد اول است.
• در 1957 ، ونگ یوان با فرض درست بودن صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد هر عدد صحیح زوج بقدر کافی بزرگ ،‌مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر سه عدد اول است.
• در 1948 آلفرد بدون استفاده از صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد که هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر c عدد اول است. ( c عددی ثابت و مجهول است).
• در 1961 باربن نشان داد که c=9 برای این منظور کفایت می‌کند.
• در 1962 ، پان چنگ دونگ این مقدار را به c=5 کاهش داد. مدت کوتاهی پس از آن باربن و پان ، مستقل از هم ،‌آن را به c=4 کاهش دادند.
• در 1965 بوخشتاب این قضیه را به ازای c=3 کاهش داد.
• در 1966 ، چن جینگ ران روش غربال را بهتر کرد و قضیه را به ازای c=2 ثابت کرد. یعنی

هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول است.

هندسه زندگی

 

دلم میخواهد زندگی را از زاویه ای دیگر ببینم.

دوست دارم نگاه هندسی به زندگی داشته باشم و محیط پیرامون خود را با دیدی نو محاسبه کنم.

دلم میخواهد مساحت عمرم را بسنجم و به شخصیتم شکل مناسبی بدهم.

میتوانم زندگی را مربعی فرض کنم که اضلاع ان را ایمان- هدف -امیدو عشق تشکیل داده اند یا مثلثی  

که زاویه های ان علم-ایمان و انسانیت باشد.

میتوانم مرکز دایره حیاتم را انتخابهای خوب قرار دهم.

چرا سطحی بیندیشم؟

وقتی دوست دارم به افکار و زندگیم عمق دهم و میتوانم حجم معنویتم را افزون سازم.

من میتوانم از نقطه های خط عمرم خطی مستقیم در جهت خوبی و مهربانی ترسیم کنم.

من دلم میخواهد زندگیم بر قاعده پاکی استوار باشد.به موازات حق پیش بروم و زاویه دیدم باز باشد.

وقتی این قدر توانایی دارم چرا شکل غیر منتظم باشم و از میان خطوط خط های شکسته و منحنی را

برگزینم؟

من میتوانم منشوری باشم شفاف که از هر سو جلوه ای خاص دارد.

منشوری که نور را به راحتی تجزیه میکند و فضا را با رنگهای دلپذیر و جذاب محبت-امید-عشق-

عرفان و... می اراید.

برگرفته از وبلاگ : http://kidy.blogfa.com/post-31.aspx

تبدیل فوریه

تبدیل فوریه، نامیده شده به اسم ریاضیدانِ فرانسوی ژوزف فوریه، یک انتقال انتگرالی است که هر تابع f(t) را به یک تابع دیگر F(ω) منعکس می‌کند. به F(ω) در این صورت تبدیل‌شده فوریه۱ تابع f(t) می‌گویند. حالت خاص انتقال فوریه، سری فوریه نام دارد و آن زمانی کاربرد دارد که تابع f(t) متناوب باشد، یعنی: f(t + T) = f(t) . حال اگر تابع متناوب نباشد و یا به عبارتی، تناوب آن برابر بی‌نهایت باشد ))، آنگاه از سری فوریه به راحتی، عبارت زیر به دست می‌آید:

انتقال فوریه و همراه آن آنالیز فوریه، در مباحث مختلف فیزیک، از جمله الکترونیک و الکترومغناطیس (به خصوص در پیغام‌رسانی و مخابرات)، آکوستیک، فیزیک امواج و غیره کاربرد فراوان دارد.

جبر برداری

 

مجموع اعمال ریاضی شامل جمع ، ضرب ، مشتق ، انتگرال و... که بر روی بردارها انجام می‌شود، بر اساس قواعد و اصول خاصی قابل اجراست. مجموعه این قوانین در مبحثی تحت عنوان جبر برداری مورد بحث قرار می‌گیرند.

اطلاعات اولیه

بحث حرکت در دو یا سه بعد با وارد کردن مفهوم بردار بسیار ساده می‌شود. یک بردار از نظر هندسی به صورت کمیتی فیزیکی تعریف می‌شود که بوسیله اندازه و جهت در فضا مشخص می‌شود. به عنوان مثال می‌توان به سرعت و نیرو اشاره کرد که هر دو کمیتی برداری هستند. هر بردار را با یک پیکان که طول و جهت آن نمایشگر اندازه و جهت بردار است، نمایش می‌دهند. جمع دو یا چند بردار را می‌توان بر اساس راحتی کار با استفاده از روشهای متوازی الاضلاع یا روش تصاویر که در آن هر بردار را به مولفه‌هایش در امتداد محورهای مختصات تجزیه می‌کنند، انجام داد.

ضرب بردارها

ضرب بردار در حالت کلی به دو صورت ضرب نقطه‌ای یا عددی و ضرب برداری انجام می‌شود. در ضرب عددی یا اسکالر یا نقطه‌ای که با نماد A.B نمایش داده می‌شود، حاصضرب برابر با است با حاصلضرب اندازه یک بردار در اندازه تصویر بردار دیگر بر روی آن. طبیعی است که اگر دو بردار بر هم عمود باشند، حاصلضرب آنها صفر خواهد بود. اما در ضرب برداری که بصورت A×B نمایش داده می‌شود، نتیجه حاصلضرب ، برداری است که جهت آن با استفاده از قاعده دست راست تعیین می‌شود و اندازه آن با حاصلضرب اندازه دو بردار در سینوس زاویه بین آنها برابراست. ضرب برداری علاوه بر دو حالت فوق می‌تواند بصورت مختلط نیز باشد. به عنوان مثل اگر C , B , A سه بردار دلخواه باشند در این صورت می‌توان ضربهایی به شکل A.B×C یا A×B×C نیز تشکیل داد. اما همواره باید توجه داشته باشیم که نتیجه حاصلضرب اسکالر یا عددی یک عدد است در صورتی که نتیجه حاصلضرب برداری یک بردار است.  

قاعده دست راست

قاعده دست راست که در بیشتر مسائل فیزیک که با بردارها سر و کار دارند مطرح است، به این صورت بیان می‌شود: فرض کنید A و B دو بردار دلخواهی هستند که به صورت برداری در یکدیگر ضرب (برداری )می‌شود. برای تعیین جهت بردار حاصلضرب کافی است چهار انگشت دست راست را در راستای بردار اول قرار داده و بوسیله چهار انگشت خود این بردار را بطرف بردار دوم بچرخانیم، در این صورت جهت انگشت شست دست راست در راستای بردار منتجه خواهد بود.

مشتق گیری برداری

برای مشتق گیری برداری قواعد خاصی وجود دارد که به صورت زیر اشاره می‌شود.

1. مشتق جمع دو یا چند بردار با مجموع مشتقات تک تک آنها برابر است.
2. مشتق حاصضرب دو بردار (خواه اسکالر خواه برداری) برابر است با مجموع دو جمله ، که جمله اول شامل حاصضرب مشتق بردار اول در خود بردار دوم و جمله دوم برابر با حاصضرب خود بردار اول در مشتق بردار دوم است. بدیهی است که مشتق حاصلضرب چندین بردار نیز به همین صورت تعریف می‌شود. یعنی به تعداد بردارهایی که در هم ضرب می‌شوند، جمله وجود دارد و در هر جمله مشتق یک بردار وجود دارد. علاوه بر این مشتقات مراتب بالاتر (مشتق دوم و بیشتر) نیز به همین صورت انجام می‌شود.

انتگرال گیری برداری

در حالت کلی سه بعدی دو نوع تابع می‌توان در نظر گرفت. توابع نقطه‌ای اسکالر و توابع نقطه‌ای برداری. به عنوان مثال تابع انرژی پتانسیل یک تابع نقطه‌ای اسکالر است، در صورتی که شدت میدان الکتریکی یک تابع نقطه‌ای برداری است. همچنین انتگرال گیری نیز می‌تواند به سه صورت خطی ، سطحی و حجمی صورت گیرد. در حالت اول انتگرال گیری بر روی یک منحنی صورت می‌گیرد. اما در حالت دوم انتگرال گیری روی یک سطح و سرانجام در حالت چهارم روی یک حجم صورت می‌گیرد. نکته قابل توجه در اینجا این است که انتگرال گیری با توجه به تقارن موجود و نیز نوع تابع مسئله در سیستمهای مختصاتی مختلف انجام داد. به عنوان مثال اگر مسئله مورد نظر ما دارای تقارن کروی باشد بهتر است کلیه انتگرالهایی که در مسئله مورد نیاز است در سیستم مختصات کروی انجام دهیم.

 

نامه ای به زبان ریاضی

به نام او که عالم را بر اساس « حساب » و « هندسه » آفرید . آری به نام او که همه چیز دنیا را بر اساس حساب استوار کرد و بر پایه هندسه نظم بخشید .

دوست خوبم  سلام !

امیداورم روزهای زندگی ات سرشار از تلاشهای مثبت و منطبق بر خط راست در جهت رسیدن به خدای یگانه باشد .

دوست خوبم !

جریان اندیشه های زلال ، سرزمین فکر ما را آبیاری و سر سبز می کند ، پس چه نیک است سر گذرگاه جریان اندیشه های خویش بنشینیم و از زاویه بالا آن را تماشا کنیم اگر دو ضلع زندگی« امید » و« عمل » باشد زاویه زندگی به لطف خدا همواره « منفرجه » است .

بدان که« امید » را باید به منزله مرکزی دانست که کلیه امور بشری مانند دایره پیرامون آن می چرخد و« عمل » همان تلاش های مثبت اوست که او را به مقصد می رساند .

 دوست خوبم !

اگر« حساب عمرمان » را داشته باشیم « آدم حسابی » می شویم . بنابراین از حساب امور زند گی خود غافل نشویم چرا که ذات حق دائم به کار حساب مشغول است .

دوست خوبم !

اگر چه منطق ضامن سلامت کار یک ریاضیدان است ولی منبع تغذیه او نیست نان روزانه او را مسائل مهمتر ، که موجب پیشرفت او می شوند تامین می کند .

دوست خوبم !

چه زیباست دررفتار با دیگران خوبی ها را جمع کنیم ، بدی ها را تفریق نماییم ، شادی ها را ضرب نماییم ، غم ها را تقسیم نموده ، از نفرت ها جذر بگیریم و محبت ها را به توان برسانیم .

هندسه شخصیت خود را با خطوطی منظم و راست ترسیم کنیم و فراموش نکنیم که یک انسان مسئول باید زندگی فردی اش را بر دو اصل منفی استوار کند تا زندگی اجتماعی و اقتصادی اش همواره براساس اصل مثبتی پایدار بماند : اول آنکه بیش از نیاز نخواسته باشد تا برای کسب آن خود را به خفت بیندازد دوم آنکه بیش از نیاز نداشته باشد تا برای حفظ آن در هراس بیافتد .

دوست خوبم !

در زندگی خودآزادگی پیشه کن و فراموش نکن ؛آنانکه دل به « عرض » یک صندلی بسته اند در« طول » زندگی اسیر بوده اند .

دوست خوبم !

در انتخاب دوستان و همنشینانت دقت کن و همیشه آنان را از میان دانایان و خردمندان برگزین زیرا خردمند با خردمند سازگار است اما نادان نه با دانا سازگار است نه با نادان دیگر چونانکه خط راست بر خط راست دیگر منطبق می شود اما خط ناراست نه بر ناراست دیگر منطبق می شود نه بر راست .

دوست خوبم !

با معادله زیبای زندگی سعی بر آن داشته باش که جدولی مصفا و رسمی دل آرا در حل مختصاتx وy ها شیبی به سوی کمال بی نهایت کشیده گردد تا به مراد خود برسی .

چون هرم بلند همت و چون مخروط عالی نهمت باشيد .

نور حق و شعاع پرتو جمال محمد «ص» در کانون قلبتان همراس باد

 

رده بندی دنیای بینهایت ها

دنیای بینهایت ها هم قابل طبقه بندی و ترتیب بندی است. دو نوع ترتیب بسیار مشهور در دنیای بینهایت ها وجود دارد. یکی از آنها در اعداد کاردینال و دیگری در اوردینال ظاهر می‌شود. در کاردینهالها مجموعه تمام اعداد شمارش پذیر مانند مجموعه اعداد طبیعی ، مجموعه اعداد زوج ، مجموعه اعداد گویا یکسان در نظر گرفته می‌شود و به همه آنها و عدد الف صفر یعنی X₀ نسبت داده می‌شود در حالی که به مجموعه بزرگتر از آنها مجموعه اعداد حقیقی ، مجموعه کلیدی نقاط روی یک خط و بسیاری از مجموعه‌های دیگر ، تعداد اعضای این مجموعه‌ها با عددی به نام X نشان داده می‌شود X₀ کوچکتر از X است.

سوال جالب در منطق ریاضی این است که آیا عددی بین X0 و X وجود دارد. و جوابهای بسیار شیرین و جالبی برای این سوالها داده شده که مربوط به کارهای کوهن و گودل می‌باشد، آنها چیز جالبی را اثبات کردند و آن اینکه اگر عددی را ما بین این دو وجود داشته باشد و یا وجود نداشته باشد. تاثیری بر ریاضیاتی که ما داریم ندارد. در حقیقت ما مختاریم که فرض کنیم وجود دارد یا وجود ندارد. اعدادی بعدی اوردینالها است اساس شمارش مجموعه‌ها بر حسب اوردینالها بر تعریفی از ترتیب قرار دارد. به هر حال بینهایت عدد اوردینال و بینهایت عدد کاردینال وجود دارند که مقدارشان متناهی نیست؟!

 

انسان شناسی ریاضی

 

متن سخنرانی دکتر فیاض

قبل از شروع بحث لازم می دانم یادآوری کنم که تمام هم وغم  من در این سخنرانی صرفا باز کردن یک حوزه جدید است که دوستان علاقمند همت کنند و روی آن متمرکز شوند تا این راه باز شود و انشاءالله در آینده بتوانیم مردم شناسی را تخصصی تر کنیم ، دیگر مردم شناسی عمومی کافی است.

در بحث انسان شناسی ریاضی دو گروه کار کرده اند :آلمانی ها و آنگلوساکسون ها که گروه دوم بیشتر بر "تاریخ ریاضی" تاکید داشته اند.آنها معتقدند چون ریاضی به شدت انتزاعی است پس ارائه تاریخ آن در روند آموزش بسیار مهم است،تمام بحث این افراد  نیز خارج کردن ریاضی از حالت انتزاعی و تبدیل آن به حالت حسی است.مثلا آنگلوساکسون ها معتقدند در بحث آموزش هم  به جای آنکه معلم بیاید و بدون مقدمه فرمول را برای بچه ها بنویسد باید روند رسیدن به آن و رابطه اش با واقعیت را توضیح دهد و بگوید که روند شکل گیری فرمول در ذهن فلان کس چگونه بوده است اینگونه فرمول برای فرد، قابل حس می گردد.ریاضی یک زبان است و اینکه بچه های ما در درک ان اشکال دارند به دلیل نفهمیدن استعارات و عدم قابلیت تطابق ذهنی است.اگر بچه های ما می فهمیدند "معادله" یعنی "ترازو" و می توانستند مفاهیم این زبان را اینگونه تجسم کنند ریاضی برای انها بسیار شیرین تر می شد.اصلا خود کلاس های ریاضی ،معلمان و روش های تدریس آنها،موضوع خوبی برای پژوهش انسان شناسی است.آیا انشتین با معادلات ریاضی به قانون "نسبیت" رسید یا با معادلات شهودی؟بررسی ها نشان می دهد که یک ریاضی دان با شهود و تخیل به مسئله ای می رسد و بعد آن را به صورت انتزاعی درمی آورد.نمونه بارز این مسئله زندگی "جان نش" است که در حالت اسکیزوفرنی به ریاضیاتش رسید و از قضا همین چند وقت پیش نیز تلویزیون فیلم ان را نشان داد.بنابراین دانستن تاریخ ریاضی،راه ورود به ریاضیات است و اگر ریاضی در کشوری قوی نشود امور به سامان نمی گردد چرا که تمدن ها نیز از ریاضی به دست می آیند.در همین راستا چند سال پیش خانمی به ایران آمده بود و روی نسخه های ریاضی ما کار می کرد.او می خواست "فرهنگ ریاضی" قرن سوم هجری ایران را به دست اورد و بفهمد که چه عوامل اجتماعی و سیاسی ای باعث شده که ریاضیات در ان قرن در ایران رشد کند و آیا احتمال دارد که ریاضی در ایران دوباره اوج بگیرد؟ریاضی یک سیستم نشانه شناسی مانند زبان است که در ان نوعی شباهت بین معنی و خود نشانه وجود دارد،مثلا نشانه عدد 3 در فارسی،انگلیسی و... سه دنده دارد،یک و دو نیز به همین صورت؛ولی برخلاف زبان که رابط بین انسان هاست ریاضی،زبان گفتگوی انسان و طبیعت است.همیشه تفسیر ما از طبیعت، بر ریاضی مان تاثیر داشته است،پس برای شناخت ریاضی ما باید جهان پدیداری ما را نیز شناخت و به دلیل آنکه طبیعت و جهان پدیداری ها در نزد اقوام متفاوتند پس ریاضی آنها نیز متفاوت است.بنابراین اگر بخواهیم ریاضی ایران را عوض کنیم جهان پدیداری ایرانی نیز باید تغغیر کند.رابطه ای بین ریاضی و فلسفه هم وجود دارد.صفر،همان عدم است و یک،وجود.مثبت،خداست و منفی شیطان.بی نهایت همان واجب الوجود است وبین صفر و یک اعداد بسیاری هستند و این اعداد ما هستیم،ما ممکن الوجودها.می بینیم که فلسفه همان مفاهیم ریاضی را دارد.به طور مثال کتاب های بوعلی سینا هر دوی اینها را در کنار هم دارند.ما با جهان پدیداری هایمان زندگی می کنیم و ریاضی اگر جهان پدیداری های ما را نسازد در کشور رشد نخواهد کرد.ما باید با ریاضی زندگی کنیم همان طور که با فلسفه زندگی می کنیم.اگر خوب توجه کنید می بینید که مثلثات،علمی است که در جهان اسلامی به وجود می اید،چرا؟به دلیل انکه مسمانان باید نماز بخوانند و برای نماز باید قبله را در معماری هایشان مد نظر قرار دهند.اینجاست که نیاز به مثلثات احساس می شود.عرب ها از آن جایی که قدرت تفکر انتزاعی ندارند در ریاضیاتشان اعداد منفی وجود نداشته است و برای فهم مطالب ریاضی از چوب خط استفاده می کرده اند.مثال دیگر، تمدن غربی است که دارد حالت کلان خود را از دست می دهد و همین مشکل امروز غرب است.ریاضی غرب هم امروز دارد ریزتر و ریزتر می شود،آن قدر که روی صفر و یک بحث می کند و از دل ان "کامپیوتر" درمی آید و بعد انواع و اقسام ابزارهای دیجیتالی.برای همین است که ما می گوییم "معرفت شناسی ریاضی" مبحث بسیار مهمی است.ما باید در ریاضی،فرهنگ شناسی انجام دهیم و بهترین راه این کار نیز بازگشت و نگاه به گذشته است. شیخ بهایی یک عارف  است و در سیستمی کار می کند که شعر و سی و سه پل و جن گیری و همه چیز را درکنار هم دارد.چه سیستمی در ذهن شیخ بهایی و آدم های زمان او بوده است؟ما باید به این سوال پاسخ دهیم."مدرنیسم" دوران کمیت است و برای همین همه چیز را "خطی" می کند چرا که همه کمیت ها خطی هستند.در چنین فضایی "خط" در نقاشی های ما زیاد می شود و حتی در معماری مان.تمام پنجره ها،درها همه خطی می شوند هیچ انحنایی وجود ندارد.جهان بینی مدرنیسم،تعینی است،دنبال فرمول،کمیت و برد خطی است؛اما در "پست مدرنیسم" ما دوباره داریم به سمت "انحناء" بازمی گردیم،خانه ها،ماشین ها و ابزارهای مدرن را نگاه کنید.جهان دارد عرفانی می شود،دارد از تعین مدرنیستی خارج می شود و انحناء به زندگی ما بازمی گردد.انحناء با تصوف زاده می شود.حتی تخت جمشید،"خطی" است،به تدریج ما به سمت انحناء پیش می رویم و اوج آن نیز دوران صفویه است.در این مسیر،در معماری ما هم یک انقلاب رخ می دهد و ما در دوره سلجوقیان به شدت غیر متعین می شویم.مثال دیگر "پول" است.پدیده ای که مختص جهان متعین فقهی است.حال "اعتبار" دارد جای ان را می گیرد که مفهومی غیر متعین است.سینما را هم اگر نگاه کنید به همین نتیجه می رسید.در سینما این روزها با فیلم های بسیاری مواجهیم که در آن افراد می خواهند از زمان مادی و تک خطی و کوتاه خود خارج شوند،همین است که ما تخیلی به اسم ماشین زمان را می بینیم و یا آدم های فضایی را.این نشان دهنده ان است که مفهوم زمان و مکان در دنیا دارد عوض می شود.اگر زمان عوض شود،مفهوم حرکت هم تغییر می کند و به دنبال آن ریاضی نیز به عنوان علم تفسیر حرکت،تغییر خواهد کرد.اگر مطلع باشید کل بحث ریاضی امسال نیز که جوایز جهانی را به خود اختصاص داد نظریه "بازی" بود.امروزه حتی در اقتصاد نیز ریاضی یک مفهوم تک خطی و متعین نیست،نوعی بازی است.اقتصاد و ریاضی نیز به شدت غیرمتعین شده اند و دوران قوانین ثابت دیگر گذشته است.

در اینجا به عنوان نتیجه گیری بحث می توانیم فرمول ریاضی زیر را ارائه دهیم :

دین : جهان پدیداری : فرهنگ : ریاضی : تمدن

یعنی دین ها جهان پدیداری ها را می سازند و آنها فرهنگ ها را.فرهنگ ها نیز ریاضیات خاص خود را به وجود می آورند و تمدن از دل این ریاضی خارج می شود.

در پایان باز تکرار می کنم که امروز،زمان و مکان ها متفاوتند و برای همین، جهان پدیداری ها و فرهنگ ها هم متفاوتند،درنتیجه ما ریاضی های متفاوتی هم داریم و اگر مسئله ریاضی در کشور حل شود دیگر ایران سازی و تمدن سازی کار دشواری نخواهد بود

 

 

یک درخواست

 از دوستان عزیز کسی مطلب جالبی در مورد semi derivative سراغ داره؟(لاتینی باشه بهتره )

 لطفا" مطالبی اگه تونستید پیدا کنید به من ایمیل بزنید: [e-mail]

اعداد اول

اعداد اول

در150 سال اخیر یا بیشتر نظریه اعداد پیشرفتهای زیادی در جهات مختلف داشته.شرح انواع مسائلی که در نظریه اعداد بررسی شده اند در اینجا ممکن نیست.این مبحث بسیار وسیع است و در بعضی قسمتها نیاز به دانستن مطالب عمیقی از ریاضیات پیشرفته (مثل نظریه گالوا و آنالیز در سطح بالا ) دارد. با اینحال مسائل زیادی در نظریه اعداد وجود دارد که به آسانی قابل بیانند . برخی از آنها به اعداد اول مربوط میشوند .

در نوشته ی قبلی اعداد کوچکتر از 500 ذکر شده اند .در 1914 ریاضیدان آمریکایی دی.ان.لمر با منتشر کردن جدول همه اعداد اول کوچکتر از 10 میلیون متوجه شد که فقط 664579 تا عدد اول وجود دارد یعنی حدود6.5 درصد.همچنین دی اچ لمر(پسر دی.ان.لمر) تعداد اعداد اول کوچکتر از 10 میلیارد را حساب کرد 455052512.حدوداً 4.5 درصد .

بررسی دقیق اعداد اول نشان می دهد که توزیع بسیار نامنظمی دارند . به آسانی ثابت میشود که شکافهای به اندازه ی دلخواه  بین آنها وجود دارد. بررسی این اعداد نشان میدهد که اعداد اول متوالی ، نظیر 3و5 یا 101و103 همین طور تکرار میشوند جفتهایی از اعداد اول که تفاضلشان 2 است اعداد اول دو قلو نامیده میشوند بیش از 1000 جفت از این جفتها زیر 100000  بیش از 8000 جفت زیر 1000000 وجود دارند این مسئله که

آیا بینهایت تا از این اعداد وجود دارد یا نه هنوز حل نشده است !!!!!

 

جبر یکی از سه شاخه مهم ریاضیات ( جبر - آنالیز - هندسه )

جبر

جبر از شاخه های اصلی علم ریاضیات است که تاریخی بیش از 3000 سال دارد.

این علم در طول تاریخ تحولات بسیاری داشته و در حال حاضر شامل شاخه‌های زیادی  است.

تاریخچه‌ی این علم به بیش از 3000 سال پیش در مصر و بابل برمی‌گردد که در آنجا در مورد  حل برخی از معادلات خطی بحث شده است. در هند و یونان باستان نیز ، حدود یک قرن پیش از میلاد از روش‌های هندسی برای حل برخی از معادلات جبری استفاده می‌گردیده است . در قرن اول میلادی نیز بحث در مورد برخی از معادلات جبری در آثار دیوفانتوس یونانی و برهماگوپتای هندی دیده می شود.

کتاب جبر و المقابله ی خوارزمی ، اولین اثر کلاسیک در جبر می‌باشد که که کلمه‌ی جبر  یا‌ Algebra از آن آمده است. خیام دیگر ریاضی‌دان شهیر ایرانی است که در آثار خود جبر را از حساب تمییز داد و گامی بزرگ را در تجرید و پیشرفت این علم برداشت.

درقرن 16 میلادی ، روش حل معادلات درجه سوم توسط دل‌فرو (Scipione del Ferro) و  معادلات درجه چهارم توسط فراری (Ludovico Ferrari )کشف گردید.

اواریست گالوا ( Évariste Galois ) ، ریاضی‌دان فرانسوی که در 20 سالگی در جریان انقلاب فرانسه در یک دوئل کشته شد ، بیشترین سهم را در پیشرفت و تجرید این علم داشت که نوشته‌های او ، سال‌ها پس از مرگش ، پس از مطالعه و بررسی توسط دیگر ریاضی‌دانان موجب تحول عظیم در این علم گردید.

نیلز هنریک ابل ( Niels Henrik Abel ) نروژی اولین کسی بود که ثابت کرد معادلات درجه 5 به بالا ،‌بوسیله‌ی رادیکال‌ها حل پذیر نیستند.

کارل فریدریش گاوس ( Carl Friedrich Gauss )،‌ ریاضی دان آلمانی که تاثیرات ژرفی  د ر توسعه ی شاخه های مختلف برداشته ، سهم زیادی در پیشرفت این علم داشت که مهم‌ترین آن همانا قضیه اساسی جبر می‌باشد.

پس از کارهای اویلر ،‌ لاگرانژ ، گاوس ،‌ کوشی و بسیاری دیگر از بزرگترین ریاضی‌دانان تاریخ ، علم جبر به قرن بیستم رسید که با شروع این قرن و به دلیل کشف تناظر های شاخه‌هایی از این علم با شاخه‌هایی از هندسه ،‌ این علم در شاخه‌های مختلف پیش رفت.

از جمله بزرگ‌ترین پیشرفت های جبر و ریاضیات در این قرن ، کلاس‌بندی گروه‌های ساده‌ی متناهی می‌باشد.

 

تبریک روز جهانی ریاضیات

با سلام

روز ۲۸ اردیبهشت روز جهانی ریاضیات را به تمامی دانشجویان و علاقمندان ریاضی تبریک می گویم.

آرزوی موفقیت برای شما در همه زمینه ها بخصوص زمینه ریاضی را دارم.

روز معلم مبارک!!

نيايش رياضي به مناسب هفته بزرگداشت معلم

 

تو با شكوه ترين لحظه موعودي ، همواره دوستت خواهم داشت چرا كه :

به من آموختي كه بايد ، سپيديها را مجذور و از سياهيها جذر گرفت ، زيباييها را در ده به توان ده ضرب كرد و زشتيها را بر آن تقسيم كرد . به من آموختي تا منحني اكيداً نزولي پشت خميدة آن پير زن دردمند را بر صفحة كاهگلي ديوار كلبه اش همواره به خاطر داشته باشم . تو علامت را در تساوي اضلاع مثلث متساوي الاضلاع ، استواري را در مثلث قائم الزاويه و نظم را در قالب تمامي n ضلعيهاي منتظم به ما نماياندي . در محضر بزرگوارت آموختم كه بايد از همه بديهاي ديگران فاكتور گرفت . آموختم كه اعداد حقيقي با در برداشتن اعداد گنگ زيباترند ، چرا كه حقيقت زيباست و آموختم كه هر روزمان بايد نقطة عطفي باشد براي تغيير علامت از منفي به مثبت بي نهايت ، از سرازيري به سمت اعلا و از اكيداً نزولي به سمت اكيداً صعودي ، به سمت مثبت بي نهايت ، به سمت آن حقيقت نامتناهي . آموختم كه همه چيز را در قالب اعداد مثبت و در ناحيه اول مثلثاتي كه ناحيه مثبتها است ، بررسي كنيم و اكسترمم لطف و صميميت ، پاكي و صفا را ماكزيمم در نظر بگيريم و در همان حال ، كينه و نفرت را به سمت صفر ميل دهيم .

تو را هميشه تاريخ سپاس خواهم گفت چرا كه در محضر تو آموختم چگونه انسان باشم و در خدمت به ديگران از پارامترهاي موجود پا را فراتر نهم و در بينهايت عشق ورزيدن غوطه ور گردم . تو درس زندگي را در قالب فرمولها و روابط منطقي رياضي به من آموختي و مرا با هنر رياضي ورزيدن ، مأنوس كردي ، پس : تو را اي بزرگ شخصيت فداكار ، تا ابد دوست خواهم داشت و دعاي خيرم را نثار راهت خواهم كرد .

 

 

نظریه آشوب

به دنبال درخواست دوستان عزیز و ابراز رضایت آنها از مطلب من در مورد نظریه آشوب بر آن شدم مطلب دیگری در همین زمینه برای دوست داران ریاضی تهیه کنم.

نظریه آشوب :

طی 20 سال گذشته، در حوزه ریاضیات و فیزیک مدرن، روش علمی و تئوری جدید و بسیار جالبی به نام "آشوب" پا به عرصه ظهور گذاشته است. تئوری آشوب، سیستمهای دینامیکی بسیار پیچیده ای مانند اتمسفر زمین، جمعیت حیوانات، جریان مایعات، تپش قلب انسان، فرآیندهای زمین شناسی و ... را مورد بررسی قرار می دهد. انگاره اصلی و کلیدی تئوری آشوب این است که در هر بی نظمی ، نظمی نهفته است. به این معنا که نباید نظم را تنها در یک مقیاس جستجو کرد؛ پدیده ای که در مقیاس محلی، کاملا تصادفی و غیرقابل پیش بینی به نظر می رسد چه بسا در مقیاس بزرگتر، کاملا پایا (Stationary) و قابل پیش بینی باشد

نقاط تشابهی بین تئوری آشوب و علم آمار و احتمالات وجود دارد. آمار نیز به دنبال کشف نظم در بی نظمی است. نتیجه پرتاب یک سکه در هر بار ،تصادفی و نامعلوم است، زیرا دامنه محلی دارد. اما پیامدهای مورد انتظار این پدیده ، هنگامی که به تعداد زیادی تکرار شود، پایا و قابل پیش بینی است. وجود چنین نظمی است که باعث زنده ماندن صنعت قمار است، و گرنه هیچ سرمایه گذاری حاضر نبود که در چنین صنعتی سرمایه گذاری کند. در واقع، قمار برای کسی که قمار می کند پدیده ای تصادفی و شانسی است(چون در مقیاس محلی قرار دارد) و برای صاحب قمارخانه، پدیده ای قابل پیش بینی و پایا است (چون در مقیاس بزرگتر (global)، این پدیده دارای نظم است).

همین جا می توان به مصادیقی از این تئوری در حوزه علوم انسانی اشاره کرد. بسیاری از وقایع تاریخی که در مقیاس 20 ساله ممکن است کاملا تصادفی و بی نظم به نظر برسند، ممکن است که در مقیاس 200 ساله، 2000 ساله  یا 20000 ساله دارای دوره تناوب مشخص و یا نوعی نظم در علتها باشند(و البته نه لزوما به گونه ای که مارکس معتقد است!!!). در نگرش رفتارگرایی در حوزه روانشناسی، در واقع با نوعی تغییر مقیاس، به نظم رفتاری و قوانین آن دست می یابند و امکان پیش بینی و یا اصلاح اختلالات رفتاری فراهم می گردد، و الا اگر رفتارهای منفرد افراد مد نظر باشد چیزی جز چند رفتار تصادفی و غیرقابل پیش بینی نخواهد بود. روش علمی (متدولوژی) که این تئوری در اختیار ما قرار می دهد، تغییر مقیاس در نگاه به وقایع است به گونه ای که بتوان نظم ساختاری آن را کشف کرد. صد البته، نگاه جدید این منطق به نظم، بسیاری از جدالهای سنتی در مورد برهان نظم و ... در فلسفه را نیز مورد چالش قرار می دهد.

موضوع جالب دیگری که در تئوری آشوب وجود دارد، تاکید آن بر وابستگی (یا حساسیت) به شرایط اولیه است. بدین معنی که تغییرات بسیار جزیی در مقادیر اولیه یک فرآیند می تواند منجر به اختلافات چشمگیری در سرنوشت فرآیند شود. مثال ساده زیر شاید جالب باشد :

اگر مسافری 10 ثانیه دیر به ایستگاه اتوبوس برسد نمی تواند سوار اتوبوسی شود که هر 10 دقیقه یک بار از این ایستگاه می گذرد و به سمت مترویی می رود که از آن هر ساعت یک بار قطاری به سوی فرودگاه حرکت می کند. برای مقصد مورد نظر این مسافر، فقط روزی یک پرواز انجام می شود و لذا تاخیر 10 ثانیه ای این مسافر باعث از دست دادن یک روز کامل می شود. بسیاری از پدیده های طبیعی دارای چنین حساسیتی به شرایط اولیه هستند. قلوه سنگی که در خط الراس یک کوه قرار دارد ممکن است تنها بر اساس اندکی تمایل به سمت چپ یا راست، به دره شمالی یا جنوبی بلغزد، در حالی که چند میلیون سال بعد، که توسط فرآیندهای زمین شناسی و تحت نیروهای باد و آب و ... چند هزار کیلومتر انتقال می یابد، می توان فهمید که آن تمایل اندک به راست و چپ به چه میزان در سرنوشت این قلوه سنگ تاثیرگذار بوده است. مثال بسیار آشنای دیگر، وابستگیهای جسمی و روانی انسانها به شرایط لقاح و مسائل ژنتیکی است.

اگر چه چنین وابستگی آشوبناک (Chaotic) به شرایط اولیه را می توان در بسیاری از وقایع جامعه شناسی (از جمله انقلابها) و روانشناسی و .. پیجویی کرد، لکن به جز یک حوزه(که پایینتر به آن اشاره خواهد شد)، تاکنون توجه خاصی بدین مسئله صورت نگرفته است. به این معنا که اغلب برای تمام طول حیات یک پدیده، وزن یکسانی از نظر تاثیرگذاری عوامل درونی و بیرونی در نظر گرفته می شود، در حالی که تئوری آشوب، نقش  کلیدی را در شرایط و المانهای مرزی اولیه می داند. ادوارد لورنز، دانشمند مشهور هواشناسی، سالها پیش جمله مشهور خود را که بعدها به " اثر پروانه" (Butterfly Effect) مشهور شد، چنین عنوان کرده است: " در یک سیستم دینامیکی مانند اتمسفر زمین، آشفتگی بسیار کوچک ناشی از به هم خوردن بالهای یک پروانه می تواند منجر به توفانهایی در مقیاس یک قاره بشود". در بسیاری از وقایع جامعه شناختی و سیاسی نیز می توان به جای پیجویی عوامل بسیار پیچیده و نادیده گرفتن عوامل به ظاهر ساده، با جدی گرفتن عوامل به ظاهر بی ارزش به تحلیل صحیحی نسبت به آن واقعه رسید.

پیشتر اشاره کردم که در این مورد ، در یک حوزه کار وسیعی صورت گرفته است. این حوزه ، روانشناسی است و تئوری عظیم نابغه دنیای روانشناسی، فروید، دارای چنین رویکردی است. فروید ریشه تمامی رفتارهای انسانها در طول زندگی را متاثر از دوران کودکی (شرایط اولیه به زبان تئوری آشوب) می داند و با پیجویی این رفتارها تا دوران کودکی، به تحلیل این رفتارها می پردازد.

علاوه بر مطالبی که ذکر شد ،تئوری آشوب ، با ارائه نظریه فرکتالها (Fractals) و ارائه مفهوم جدیدی از بعد فیزیکی  (Dimension) و مفاهیمی مانند "خود تشابهی" و " خود تمایلی" ، دروازه جدیدی در کشف نظم در پدیده ها گشود که در جای خود می تواند به طور جدی ، مورد استفاده علوم انسانی قرار گیرد.

 

باز هم این افغانها!!!

مشكل افغانى ها با عدد ۳۹

مردم افغانستان با عدد ۳۹ مشكل دارند. عدد ۳۹ در ميان مردم اين كشور به معناى يك دشنام ناموسى است. ريشه اين باور به درستى معلوم نيست، اما بعضى ها مى گويند كه تركيب عدد ۳۹ در حروف ابجد برابر با يك واژه عربى است كه در فارسى بى ناموس يا ناموس فروش معنى مى دهد. استفاده از اين عدد براى بسيارى از شركت ها و موسسات اين كشور مشكلاتى را به وجود آورده است. بى بى سى نوشت: «مقامات اداره ترافيك شهر هرات در غرب افغانستان گفته اند صدور جواز تردد خودروها در اين شهر به علت برخورد شماره مسلسل اين مجوزها با عدد ۳۹هزار به مشكل برخورده است.» «كريم الله گذر» رئيس اداره ترافيك ولايت هرات گفت: «در حال حاضر نزديك به ۳۹هزار خودروى سوارى در هرات وجود دارد، اما از دو ماه پيش رانندگان بسيارى از خودروها از گرفتن پلاك داراى شماره ۳۹ خوددارى مى كنند.» مشكل افغانى ها با عدد ۳۹ حتى در اعلام سن آنها هم وجود دارد. اگر از يك هراتى ۳۹ساله سنش را بپرسيد با اكراه مى گويد: «يك كم چهل»، «حدود چهل سال»، «كمى بيش از سى و هشت» و يا «۳۸+۱». برخى از شهروندان كابل نيز مى گويند كه به خاطر مى آورند كه از ده ها سال پيش، در سينماها جايگاه شماره ۳۹ وجود نداشت و هتل ها و مسافرخانه ها نيز از نامگذارى سى و نهمين اتاق هاى خود خوددارى مى كردند.

ریاضیات فازی

رياضيات فازي يک فرا مجموعه از منطق بولي است که بر مفهوم درستي نسبي، دلالت مي کند. منطق کلاسيک هر چيزي را بر اساس يک سيستم دوتائي نشان مي دهد ( درست يا غلط، 0 يا 1، سياه يا سفيد) ولي منطق فازي درستي هر چيزي را با يک عدد که مقدار آن بين صفر و يک است نشان مي دهد. مثلاً اگر رنگ سياه را عدد صفر و رنگ سفيد را عدد 1 نشان دهيم، آن گاه رنگ خاکستري عددي نزديک به صفر خواهد بود. در سال 1965، دکتر لطفي‌زاده نظريه سيستم‌هاي فازي را معرفي کرد. در فضايي که دانشمندان علوم مهندسي به دنبال روش‌هاي رياضي براي شکست دادن مسايل دشوارتر بودند، نظريه فازي به گونه‌اي ديگر از مدل‌سازي، اقدام کرد.

منطق فازي معتقد است که ابهام در ماهيت علم است. بر خلاف ديگران که معتقدند که بايد تقريب‌ها را دقيق‌تر کرد تا بهره‌وري افزايش يابد، لطفي‌زاده معتقد است که بايد به دنبال ساختن مدل‌هايي بود که ابهام را به عنوان بخشي از سيستم مدل کند. در منطق ارسطويي، يک دسته‌بندي درست و نادرست وجود دارد. تمام گزاره‌ها درست يا نادرست هستند. بنابراين جمله «هوا سرد است»، در مدل ارسطويي اساساً يک گزاره نمي‌باشد، چرا که مقدار سرد بودن براي افراد مختلف متفاوت است و اين جمله اساساً هميشه درست يا هميشه نادرست نيست. در منطق فازي، جملاتي هستند که مقداري درست و مقداري نادرست هستند. براي مثال، جمله "هوا سرد است" يک گزاره منطقي فازي مي‌باشد که درستي آن گاهي کم و گاهي زياد است. گاهي هميشه درست و گاهي هميشه نادرست و گاهي تا حدودي درست است. منطق فازي مي‌تواند پايه‌ريز بنياني براي فن‌آوري جديدي باشد که تا کنون هم دست‌آورد‌هاي فراواني داشته است.

 کاربردها:

از منطق فازي براي ساخت کنترل کننده هاي لوازم خانگي از قبيل ماشين رختشويي (براي تشخيص حداکثر ظرفيت ماشين، مقدار مواد شوينده، تنظيم چرخهاي شوينده) و يخچال استفاده مي شود. کاربرد اساسي آن تشخيص حوزه متغيرهاي پيوسته است. براي مثال يک وسيله اندازه گيري دما براي جلوگيري از قفل شدن يک عايق ممکن است چندين عضو مجزا تابعي داشته باشد تا بتواند حوزه دماهايي را که نياز به کنترل دارد به طور صحيح تعريف نمايد. هر تابع، يک ارزش دمايي مشابه که حوزه آن بين 0 و 1 است را اختيار مي کند. از اين ارزشهاي داده شده براي تعيين چگونگي کنترل يک عايق استفاده مي شود.

حال با مثال ديگري اهميت اين علم را بيشتر درک مينمائيم:

يک انسان در نور کافي قادر به درک ميليونها رنگ ميباشد.ولي يک روبوت چگونه ميتواند اين تعداد رنگ را تشخيص دهد؟ حال اگر بخواهيم روباتي طراحي کنيم که قادر به تشخيص رنگها باشد از منطق فازي کمک ميگيريم و با اختصاص اعدادي به هر رنگ آن را براي روبوت طراحي شده تعريف ميکنيم.

از کاربردهاي ديگر منطق فازي ميتوان به کاربرد اين علم در صنعت اتومبيل سازي(در طراحي سيستم ترمز ABS و کنترل موتور براي بدست آوردن بالاترين راندمان قدرت)،در طراحي بعضي از ريزپردازنده ها و طراحي دوربينهاي ديجيتال اشاره کرد

 

توضیحاتی در مورد ریاضی و مباحث آن

ریاضیات را معمولا دانش بررسی کمیت‌‌ها و ساختار‌ها و فضا و دگرگونی (تغییر) تعریف می‌کنند. دیدگاه دیگری ریاضی را دانشی می‌داند که در آن با استدلال منطقی از اصول و تعریف‌ها به نتایج دقیق و جدیدی می‌رسیم (دیدگاه‌های دیگری نیز در فلسفه ریاضیات بیان شده‌است.)

ریاضیات خود یکی از علوم ‌طبیعی به‌شمار نمی‌رود، ولی ساختارهای ویژه‌ای که ریاضیدانان می‌پژوهند بیشتر از دانشهای طبیعی به ویژه فیزیک سرچشمه می‌گیرند.

علوم طبیعی و مهندسی و اقتصاد و پزشکی بسیار به ریاضیات تکیه دارد ولی گاه ریاضیدانان به دلایل صرفا ریاضی (و نه کاربردی) به تعریف و بررسی برخی ساختارها می‌پردازند.

موضوع‌های اصلی ریاضیات

 در زیر بعضی از اصلی‌ترین شاخه‌ها و موضوعات ریاضی به صورت دسته‌بندی شده ارائه شده است:

 موضوع‌های اصلی ریاضیات

o                            ۱.۱ کمیت

o                            ۱.۲ ساختار

o                            ۱.۳ فضا

o                            ۱.۴ تغییر

o                            ۱.۵ پایه‌ها و روش‌های ریاضیات

o                            ۱.۶ ریاضیات گسسته

o                            ۱.۷ ریاضیات کاربردی

o                            ۱.۸ قضیه‌ها و حدس‌های مشهور

o                            ۱.۹ تاریخچه و جهان ریاضیات

o                            ۱.۱۰ ریاضیات و رشته‌های دیگر

o                            ۱.۱۱ ابزارهای ریاضی

کمیت

عدد- اعداد طبیعی- اعداد حسابی- اعداد صحیح- اعداد اول- اعداد مرکب- اعداد گویا- اعداد گنگ- اعداد حقیقی- اعداد مختلط- اعداد جبری-عدد پی- عدد ای- چهارگان‌ها- هشت‌گان‌ها- شانزده‌گان‌ها- اعداد پی- ادیک-Hypercomplex numbers-Hyperreal number-Surreal numbers-بینهایت- اعداد ترتیبی-اعداد اصلی- ثابت‌های ریاضی

ساختار

جبر مجرد-نظریه اعداد-هندسه جبری-نظریه گروه‌ها-مونوئیدها-آنالیز ریاضی-توپولوژی-جبر خطی-نظریه گراف-جبر عمومی-نظریه مقوله‌ها-نظریه ترتیب-نظریه مزور

فضا

توپولوژی، هندسه، مثلثات، هندسه جبری، هندسه دیفرانسیل، توپولوژی دیفرانسیل، توپولوژی جبری، جبر خطی، هندسه برخالی، متری

تغییر

حساب-حسابان-حساب برداری-آنالیز ریاضی-معادلات دیفرانسیل-سیستم‌های دینامیکی-نظریه آشوب-فهرست تابع‌ها

پایه‌ها و روش‌های ریاضیات

فلسفه ریاضیات-شهودگرایی-ساخت‌گرائی-مبانی ریاضیات-نظریه مجموعه‌ها-منطق نمادی-نظریه مدل-نظریه مقولات-منطق-ریاضیات معکوس-جدول نمادهای ریاضی

ریاضیات گسسته

ترکیبیات، نظریه شهودی مجموعه‌ها، نظریه رایانش، رمزنگاری، نظریه گراف

ریاضیات کاربردی

فیزیک ریاضی-مکانیک-مکانیک سیالات-آنالیز عددی-بهینه‌سازی-احتمالات-آمار-اقتصاد ریاضی-ریاضیات مالی-نظریه بازی‌ها-زیست‌شناسی ریاضی-رمزنگاری-نظریه اطلاعات

قضیه‌ها و حدس‌های مشهور

آخرین قضیه فرما، حدس ریمان، فرض پیوستار، P=NP، حدس گلدباخ، حدس اعداد اول توأمان، قضایای ناتمامیت گودل، حدس پوآنکاره، برهان قطری کانتور، قضیه فیثاغورث، قضیه اعداد بزرگ، قضیه حد مرکزی، قضیه اساسی حسابان، قضیه اساسی جبر، قضیه اساسی حساب، قضیه چهاررنگ، لم زرن

تاریخچه و جهان ریاضیات

تاریخ ریاضیات-گاهشمار رِیاضیات-نشان ریاضیدانان-جایزه فیلدز-مسائل جایزه‌ای هزاره-جایزه آبل-اتحادیه جهانی ریاضیات-مسابقات ریاضی

ریاضیات و رشته‌های دیگر

ریاضیات و معماری-ریاضیات و آموزش-ریاضیات گام‌های موسیقی

 

 

آشوب چیست؟

آشوب،یا آنچه در انگلیسی chaos خوانده می شود چیست؟

در مبحث واژگان این کلمه انسان را به یاد بی نظمی می اندازد.به یاد حالتی که هیچ چیز بر سر جای خود نباشد.اما آیا واقعا چنین است؟!!!

 

مطالعه در مورد این مبحث در حقیقت از مطالعات هواشناسی شروع شد.چندی از دانشمندان هواشناسی مشغول مطالعه در مورد شرایط جوی و تاثیر موارد مختلف بر هوای جهان و منطقه داشتند.آنان به مدت دو سال مشغول مطالعه هوای یک منطقه خاص  دارای آب و هوای نسبتا بی تغییر و کاملا معتدل بودند و تمامی تغییرات را ثبت می کردند.یک دستگاه ثبت نمودار تغییرات جوی هر روز راس ساعت شش صبح روشن می شد و نمودار تغییرات را تا شش بعد از ظهر ثبت می کرد.اما در پاییز سال دوم ناگهان نمودار این تغییرات به طرز عجیبی عوض شد.یعنی نموداری مغشوش به ثبت رسید که نشانه بروز تغییرات شدید جوی بود،اما آن چه به چشم دیده می شد هیچ تغییری مشاهده نمی کرد.دانشمندان شروع به مطالعه در این مورد کردند تا دلیل این تغییر را دریابند اما متوجه هیچ چیز نشدند.پس از پاییز همه چیز دوباره عادی شد.این امر آنان را بر آن داشت تا یک سال دیگر مطالعات خود را در آن محل ادامه دهند.در پاییز سال بعد آنها همه چیز را تحت نظر داشتند.در این سال نتیجه مشاهدات خود را پیدا کردند.در نزدیکی آن محل دریاچه ای بود که گروهی از پرندگان مهاجر در پاییز به آنجا می رفتند.آن چه باعث تغییر شدید در نمودار می شد همین پرندگان بودند.پرواز دسته جمعی این پرندگان باعث می شد تا حرکت بال های آنان فشاری بر جو بیاورد و این فشار به مولکول های کناری هوا منتقل می شد و نهایتا به سنسور ثبت نمودار دستگاه می رسید.یکی از دانشمندان کنجکاو در پی آن شد که متوجه شود اگر این پرندگان آنجا نبودند چه می شد.وی با استفاده از یک برنامه کامپیوتری موقعیت منطقه را شبیه سازی کرد و برنامه را یکبار با حضور پرندگان و یکبار بدون حضور آنان اجرا کرد.هنگامی که پرندگان وجود داشتند کامپیوتر شرایط را دقیقا همان طور که در واقعیت بود نشان داد.اما بدون حضور پرندگان طوفانی بزرگ در منطقه شکل می گرفت که باعث تخریب تقریبا 12 هکتار از آن منطقه می شد.در حقیقت پر زدن آن پرندگان باعث می شد که شرایط شکل گیری این طوفان پیش نیایند...

 

پس از مطالعات جدی تر و عمیق تر و شبیه سازی جو جهان آنان به نتیجه ای رسیدند که مهم ترین شعار نظریه آشوب نام گرفت: پروانه ای در آفریقا بال می زند و گردبادی در آمریکای جنوبی شکل می گیرد.

فشاری که بال زدن آن پروانه بر اتمسفر می آورد شاید بسیار ناچیز باشد، اما فرایند تشدید باعث می شود که این فشار ناچیز و اندک به مرور و پس از طی مسافتی تبدیل به یک طوفان عظیم شود.

 

در جای دیگری، گروهی از دانشمندان علم ژنتیک مشغول مطالعه بر نقشه ژنتیکی قورباغه ها بودند.آنان سعی داشتند تا نقشه ژنتیکی این موجودات را تهیه کنند و از آن در راه پیشرفت دانش ژنتیک استفاده کنند.برای جلوگیری از زاد و ولد قورباغه ها و کنترل وضعیت آزمایشگاهی آنان تصمیم گرفتند که تنها از قورباغه های نر استفاده کنند.پس از حدود یک سال مطالعه ناگهان چیزی غریب اتفاق افتاد.روزی آنان متوجه شدند که پنج قورباغه به تعداد قورباغه ها افزوده شده است!!!

پس از مطالعه آنان متوجه شدند که برای جلوگیری از انقراض نسل، در قورباغه ها جهشی ژنتیکی اتفاق افتاده است و این گروه از قورباغه ها شش ماه از سال را نر و شش ماه را ماده اند.در فاصله تغییر جنسیت آنان در بدنشان تولید مثل می کنند.و این امر باعث ایجاد شعار مهم دوم نظریه آشوب گشت: زندگی برای بقا راه خود را خواهد یافت.

 

این نظریه در ابتدا تنها یک نظریه بود.(hypothesis)اما مطالعات بعدی آن را به یک تئوری تبدیل کرد.مطالعات بیشتر آن را به حد علم نیز رساندند.به طوری که امروزه از آشوب در معماری و عمران نیزاستفاده می شود.چرا که یکی از اصولی که این علم بیان می کند این است که هیچ چیز قابل پیش بینی نیست.به دلیل این که حیات راه خود را خواهد یافت.حتی اگر با دقت بسیار زیاد شرایط را کنترل کنیم،به این دلیل که خود ما نیز جزئی از مساله هستیم،دچار اشتباه خواهیم شد.مثال زیر را در نظر بگیرید:

اگر ما به دنبال این باشیم که در این شکل یک نظم و یک معادله پیدا کنیم شاید هیچ گاه نتوان به فرمولی رسید.اما از آنجا که باید برای توضیح انحرافات خطی در این شکل الگویی قابل توضیح وجود داشته باشد با استفاده از هندسه غیر اقلیدسی به چندین فرمول می رسیم که بخش اعظمی از این شکل را توضیح می دهد، اما برای بقیه این شکل توضیحی نداریم. بنا براین دست به ایجاد شاخه ای جدید در ریاضیات و هندسه می زنیم تا بتوانیم آن را توضیح دهیم. همین مساله به عدم قطعیت ختم می شود.یعنی ایجاد شرایط جدید باعث ایجاد علوم جدید می شود که گاهی تمام علوم قدیمی را زیر و رو می کند.

حالا بیایید تا همان شکل را بطور کامل ببینیم:

مشاهده می کنیم که تمامی بی نظمی موجود در آن شکل منجر به نظمی بزرگ شد.یعنی ایجاد یک خط راست.اما به دلیل این که ما درون شکل قرار داشتیم نتوانستیم به نظم کلی آن پی ببریم و به اشتباه کشیده شدیم.عین همین مساله را می توان در جهان جستجو کرد.دنیای اطراف ما پر از روابطی است که ما قادر به فهم آنان نیستیم و برای توضیح و توجیه آنان دست به ایجاد علوم مختلف می کنیم.علومی که هیچ کدام قطعیت ندارند و به گفته علم آشوب قابل پیش بینی نیستند...

جایزه فیلدز

 

جایزه فیلدز یا نشان فیلدز جایزه‌ای است که هر چهار سال یکبار به ابتکار ریاضی‌دان کانادائی جان چارلز فیلد در جریان کنگره اتحادیه جهانی ریاضیات به ریاضی‌دانان جوان (کمتر از چهل سال) داده می‌شود.

جایزه فیلدز را "نوبل ریاضیات" می‌خوانند.

جايزه فيلدجازهاي است كه هر چهار سال يك بار يكبار به رياضيداناني كه كار ارزنده اي در رشته رياضي انجام داده باشندو زير چهل سال داشته باشند اهدا می‌شود.جايزه فيلدز به طور رسمي از سال 1954اهدا می‌شود.اين جايزه را در واقع می‌توان نوبل رياضيات به حساب اوردزيرا جايزه نوبل در رشته رياضي اهدا نميشود.اين جايزه در واقع يك مدال (ياسكه )است به همراه 15000دلار كانادا.سكه از طلا ساخته شده است به كه روي ان سر ارشميدس حكاكي شده است

 

 

هندسهٔ فرکتالی

هندسهٔ فرکتالی وسیله و مفهومی نوین است که امکان توصیف ریختهای طبیعی را میسر کرده است. اشکال هندسی طبیعی همچون کرات آسمان و درخت کاج را به آسانی می‌توان با کره و مخروط توصیف کرد ولی بسیاری دیگر از اشکال طبیعی به اندازه‌ای پیچیده هستند که حتی با ترکیبی از اشکال هندسه اقلیدسی قابل توصیف دقیق نیستند. شکل گل‌کلم، ریخت کوهها، رویه یک فلز در مقیاس‌های میکروسکوپی نمونه‌هایی از شکل‌های طبیعی هستند که توصیف آنها تنها توسط هندسهٔ فرکتالی ممکن است.

کشف مفاهیم فرکتالی ابزاری نیرومند در اختیار دانشمندان برای همسنجی پدیده‌های پیچیده طبیعی قرار داد. برای نمونه با کاربرد مفاهیم برخالی می‌توان شکل رودخانه‌های رشته کوه‌های البرز را با شکل رودخانه‌های کوه‌های زاگرس مقایسه کرد و یا می‌توان تغییرات فعالیت‌های لکه‌های خورشیدی در زمان را توصیف و با تغییرات دمای جو زمین هم سنجید. مسلماً مقایسه طول رودخانه‌های البرز با درازای رودخانه‌های زاگرس توصیف دقیقی نخواهد بود زیرا تنها یک جنبه از هندسه پیچیده رودخانه‌های نامبرده را مورد مقایسه قرار می‌دهد. مقایسه همخوانی بسامدهای سازنده تغییرات تعداد لکه‌های خورشیدی در زمان با تغییرات دمای جو در زمان می‌تواند همبستگی این دو پدیده نامبرده را تا اندازه‌ای معین کند ولی نمی‌تواند معیاری یکتا که ارتباط میان بسامد‌های سازنده این دو پدیده را معیین می‌کند ارائه دهد.

هندسه فراکتالی چیست؟

هندسه برخالی یک مفهوم نوین است که برای نخستین بار از سوی بنویت مندلبروت در سال ۱۹۸۰ معرفی گردید. بنیاد هندسه برخالی بر این فرض استوار است که اشکال طبیعی خودهمانند (Self similar) هستند و از تکرار قانونمند یک بلوک آغازین ایجاد گردیده‌اند. برخالها را به دو دسته ریاضی و طبیعی تقسیم می‌کنند. نمونه برجسته فرکتالی ریاضی،  فرکتال کخ (Koch Fractal) است. در پایان باید گفت این نوع خاص از هندسه به سه مفهوم مهم ریاضی محتاج است:

·                     مفهوم تابع

·                     مفهوم نمودار تابع

·                     مفهوم اعداد مختلط

 

ویژگیهای 13( آیا 13 نحس است؟)

عدد 13 از دوران قدیم ویژگی خاصی داشت ؛ نحس یا مقدس.ولی چیزی که در ریاضیات از این عدد می دانیم هیچ کدام از اینها نیست بلکه این عدد هم مثل بقیه اعداد فقط یک عدد است.ولی بعضی ها تحت تاثیر خرافات قرار گرفته اند و بعضی خواص ریاضی این عدد را پیدا کرده اند .به هر حال این خواص هیچ ربطی به نحس و مقدس بودن 13 ( البته به نظر من) ندارد.                                                           

آنچه در ادامه خواهيد خواند جادوی   13 است كه به نظر جالب مي رسد !!!  

                                                                                                                                     

● 13 عدد اول است.     

● 1-13^۲  عدد اول مرسن است.

● 13جسم ارشميدسي موجود است. (اجسام ارشميدسي اجسامي هستند كه وجوه آنها چند ضلعي بوده، نه لزوما از يك نوع ، و كنجهاي آنها مساوي هستند.)

● عدد 13كوچكترين Emirp است. (Emirp  عدد اولي است كه اگر ارقام آن را معكوس كنيم مجددا عددي اول خواهد بود مثلا اعداد 13، 17،31، 37،.....)

● 169=13^۲  بامعكوس كردن ارقام آن داريم:

961="2^31 يعني رقم هاي آن مجددا معكوس مي شود."

●2^13،  1+!12 را عاد مي‌كند.

● 13عدد Happy است.(براي دانستن اين كه عددي Happy است، مجموع مربعات رقمهاي عدد را پيدا كرده و دوباره مجموع مربعات عدد بدست آمده را حساب مي‌كنيم با ادامه اين روند اگر به عدد 1 دست پيدا كرديم آنگاه به آن عدد Happy گفته مي‌شود. مثلا براي عدد سيزده  10="2^3+2^1 و 1=2^0+2^1 بنابراين13" عدد Happyاست.)

● 13نيمي از  3^3+ 3^1- است.  

●شاخه زيتوني كه در پشت دلارهاي آمريكا كشيده شده است 13 برگ دارد.

●2^13عدد !(1 -13)+ 1را عاد مي‌كند بنابراين يك عدد اول ويلسون(Wilson Prime) است. ( هر عدد اول p كه،p و p^2،  مقدار p-1)!+1 ) را عاد كنند، عدد اول ويلسون ناميده مي‌شود. مثلا  عدد 5 عدد ويلسون است.  تنها اعداد شناخته شده 5  و 13و 563 است .)

●چرتكه چيني داراي  سيزده ستون مهره‌ براي محاسبات است.

●  13بزرگترين عدد اولي است كه مي تواند به دو عدد متوالي به صورت n^2+3 افراز مي شود.(آيا مي توانيد اثبات کنيد؟)

 ● 1+13- 13^13 عدد اول است.

 ● نخستين حفره‌ي اول با طول سيزده بين دو عدد    113و 127اتفاق مي‌افتد. (منظور از حفره‌ي اول تعداد  اعداد مركب بين دوعدد اول متوالی است.)  

 ● 13 كوچكترين عدد اول جايگشت‌پذير (Permutable Number) است. ( اين اعداد، اعداد اولي  حداقل با دو رقم مجزا هستند  كه با تجديد آرايش در رقم هايشان همچنان عددي اول باقي مي مانند مثلا براي عدد 337  ، 733 و 373 و 337 عدد اول است از ديگر اعداد از اين قسم مي‌توان به  13,17,37,79,113,119و جايگشتهاي آن اشاره كرد.)

● هشت عدد اول ديگر مي‌تواند به وسيله تغيير يك رقم از 13 توليد شود.{11, 17, 19, 23, 43, 53, 73, 83}

● نخستين بار پرچم امريكا 13 ستاره و 13 خط داشت كه نشان دهنده تعداد مستعمرات اصلي اين كشور بود.

● عدد 13 كوچكترين عددي است كه ارقام آن در پايه چهار معكوس 13 است. ( 13 در پايه چهار 31 است.)

● رويه‌ي بيضوي روي اعداد گويا كه داراي نقطه‌ي گويا از مرتبه‌ي 13 باشد موجود نيست.

● 2^13= 19+...+8+7

● عدد 2^13توسط مربعات مجزاي اعداد 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 بيان مي‌شود.

●طولاني ترين ركورد پرواز يك جوجه 13 ثانيه است .

 

سوال جالب و جواب جالبتر !!!

 

سؤال: به روش استقراء ثابت كنيد مجموعه اعداد طبيعي جالب است.

 

 جواب:يك(۱) اولين عدد طبيعي است پس جالب است.دو تنهاعدداول زوج طبيعي است پس جالب است.

فرض استقرا: ا گر  nعدد جالبي باشد

حكم استقرا: ثابت ميكنيم  n+1 عددجالبي است.

اثبات: فرض كنيدn+1  جالب نباشد . درآن صورت اولين عدد طبيعي خواهد بودكه جالب نيست درنتيجه n+1 به عنوان اولين عدد طبيعي ناجالب ،جالب خواهدبود. پس مجموعه اعداد طبيعي جالب است.

 

سال نو مبارک !!!

 

سلام دوستان

ساعاتی بیش به پایان سال ۱۳۸۴ باقی نمانده است و من هر چه فکر کردم تا مطلبی در مورد ریاضی در رابطه با عید نوروز بنویسم به جایی نرسیدم . مجبور شدم یک مسئله ریاضی بدهم تا در تعطیلات عید نوروز با دوستان خود نیز در میان بگذارید.( این هم رابطه ریاضی با عید نوروز !!!!)

روي سنگ قبر ديوفانتوس

 رياضي دان يوناني، نوشته: اين جا محل دفن يك رياضي دان است كه سن مرگ او را هم بايد با رياضي حساب كنيد. يك ششم از زندگي او در نوجواني گذشت. يك دوازدهم به آن اضافه شد تا اين كه پشت لبش سبز شد. سن او به سه هفتم كل عمرش رسيده بود كه ازدواج كرد و پنج سال بعد هم پسرش به دنيا آمد. اما آن پسر هنوز به نيمي از عمر پدر نرسيده بود كه فوت كرد و پدر نيز چهار سال پس از مرگ پسر از دنيا رفت.

سوال: دیوفانتوس در چند سالگی در گذشت؟

 

منطق فازی: منطق به کار رفته در بیشتر آیات قرآن

 

ابتدا به چند تعریف زیر توجه کنید.
منطق کلاسیک: منطقی ست که در آن گزاره ها فقط ارزش راست یا دروغ دارند که آنرا منطق ۰ و ۱ می نامند.
منطق چند مقداره: منطقی که علاوه بر ۰ و ۱ چند مقدار دیگر را نیز اختیار می کند.
منطق بینهایت مقداره: در این منطق ارزش گزاره ها می تواند هر عدد حقیقی بین ۰ تا ۱ باشد.
منطق فازی: نوعی از منطق بینهایت مقداره و در حقیقت یک ابتکار برای بیان رفتار مطلوب سیستم ها با استفاده از زبان روزمره. در واقه منطق فازی یک منطق پیوسته است که از استدلال تقریبی بشر الگوبرداری کرده است.
جایگاه منطق در برداشت از قرآن کریم
منطق صحیح و مناسب به عنوان مبنا و زیربنای فکری در علوم و بویژه در علوم اسلامی نقش اساسی دارد. از این رو تفسیر برخی آیات قرآن بدلیل عدم استفاده از منطق مناسب امکان پذیر نیست. آیات بسیاری در قرآن از مخاطب برهان و دلیل تقاضا کرده است که نشان از حاکم بودن منطق در قرآن است. زیرا بدون منطق نمی توان برهان آورد و استدلال استنتاج نمود. برای نمونه می توانید به آیات ۱۱۱ بقره - ۱۰۴ و ۱۰۵ اعراف - ۲۴ انبیا - ۱۷۴ نسا و .... مراجعه کنید. پس تقریبا جایگاه منطق قرآن برایمان روشن است.
منطق قرآن نمی تواند دو ارزشی باشد. به مثال زیر توجه کنید:
در آیه ۴۵ سوره عنکبوت آمده است: ... ان الصلوه تنهی عن الفحشا و المنکر ... - یعنی همانا نماز است که اهل نماز را از هر کار زشت و منکر باز می دارد. اگر به صورت جمله منطقی این مطلب را بیان کنیم داریم: اگر فردی نماز بجای می آورد آنگاه آن فرد از هر کار زشت و منکر باز داشته می شود. حال سوال اینست که اغلب افراد نماز بجا می اورند ولی بعضی اعمال که خود فحشا و منکرند نیز مرتکب می شوند. توجیه این عمل چیست؟  پاسخ این است که نماز خواندن یک مفهوم بینهایت ارزشیست. یعنی ارزش نماز اغلب نمازگزاران بین صفر و یک است. از طرف دیگر دوری از فحشا و منکر نیز می تواند بینهایت ارزشی باشد. یعنی ممکن است یک فرد مرتکب فحشا کوچک و یا متوسط و یا بزرگ و یا خیلی بزرگ شود. به عبارت دیگر اعمال منکر یا فحشا درجات بسیار زیاد دارند. لذا براساس یک منطق فازی می توان نتیجه گرفت که اگر درجه قبولی نماز یک فرد فرضا ۵۰٪ باشد این فرد حداقل به اندازه ۵۰٪ از فحشا و منکر به دور است و هر چقدر درجه قبولی نماز افزایش یابد حداقل به همان اندازه از فحشا و منکر دور می شود. تا جاییکه اگر درجه قبولی ۱۰۰٪ باشد این فرد ۱۰۰٪ از فحشا و منکر به دور است.برای اثبات این حرف به زندگی امامان و معصومین توجه کنید.
برای مثال هایی دیگر از این دست می توان به آیه الا بذکر الله تطمئن القلوب نیز اشاره کرد. گزاره شرطی این آیه را می توان به صورت "اگر انسان خداوند را یاد کند آنگاه به آرامش می رسد" بیان کرد. از شما می خوام که تحلیلی فازی برای این آیه بیان کنید....

---

این مطلب خلاصه ای بود از مقاله شناسایی بخشی از منطق قرآن کریم تالیف دکتر علی وحیدیان کامیاد از اساتید دانشگاه فردوسی مشهد.

حدس اولیه گلدباخ:

 

 ابتدا در ۷ ژوئن 1742 نامه او به اویلر اینگونه بیان شد:"به نظر می رسد هر عدد بزرگتر از ۲ را می توان به صورت جمع سه عدد نوشت."
باید متذکر شد که در این جمله گلدباخ یک را عدد اول فرض نمود. اویلر شرح دیگری از حدس را بیان کرد که در واقع معادل با حدس اولیه بود. او ادعا نمود هر عدد زوج بزرگتر از ۴ را می توان به صورت جمع دو عدد اول نوشت.
دو عدد اول (P,q) که P+q=2nو n عددی صحیح و مثبت باشد را معمولا افراز گلدباخ می نامند. در سال 1977 پوگوزلسکی مدعی اثبات حدس گلدباخ شد اما اثبات او به طور کلی پذیرفته نشد. 
همچنین حدس "هر عدد فرد بزرگتر از 9 جمع سه عدد اول فرد است" را حدس ضعیف گلدباخ می نامند. وینوگرادف ثابت کرد هر عدد فرد به اندازه کافی بزرگ جمع سه عدد اول است.
منبع: مسائل حل نشده در نظریه اعداد، Guy.R.K، انتشارات اشپرینگر، صفحات 105 تا 107.

هندسه نا اقلیدسی

نیکلای ایوانویچ لباچفسکی (Lobachevsky, Nikolay Ivanovich) از جمله اولین کسانی بود که قواعد هندسه اقلیدسی را که بیش از 2000 سال بر علوم مختلف ریاضی و فیزیک حاکم بود درهم شکست. کسی باورش نمی شد هنگامی که اروپا مرکز علم بود شخصی در گوشه ای از روسیه بتواند پایه های هندسه اقلیدسی را به لرزه در بیاورد و پایه های علم در قرن نوزدهم را پی ریزی کند.


خیال نداریم راجع به خود او صحبت کنیم بلکه می خواهیم بطور مختصر بیان کنیم که او چه کرد. در میان اصول هندسه اقلیدسی اصلی وجود دارد به اینصورت : از هر نقطه خارج یک خط نمی توان بیش از یک خط موازی ( در همان صفحه ای که خط و نقطه در آن قرار دارند) به موازات آن خط رسم کرد.

در طول سالها این اصل اقلیدس مشکل بزرگی برای ریاضی دانان بود. چرا که ظاهری شبیه به قضیه داشت تا اصل. مقایسه کنید آنرا با این اصل اقلیدس که می گوید بین هر دو نقطه می توان یک خط راست کشید و یا اینکه همه زوایای قائمه با هم برابر هستند.

حقیقت آن است که بسیاری از ریاضی دانان سعی کردند که این اصل اقلیدس را اثبات کنند اما متاسفانه هرگز این امر ممکن نشد. حتی خیام در برخی مقالات خود سعی در اثبات این اصل کرد اما او نیز همانند سایرین به نتیجه نرسید.

لباچفسکی (1792 - 1856) نیز همانند بسیاری از دانشمندان علوم ریاضی سعی در اثبات این اصل کرد و هنگامی که به نتیجه مطلوب نرسید نزد خود به این فکر فرو رفت که این چه هندسه ای است که بر پایه چنین اصل بی اعتباری استوار شده است. اما لباچفسکی در کوشش بعدی خود سعی کرد تا رابطه میان هندسه و دنیای واقعی را پیدا کند.

او معتقد بود اگر نتوانیم از سایر اصول هندسه اقلیدسی این اصل را ثابت کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم. اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند. او پس از بررسی های بسیار چنین بیان کرد :

از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه به موازات خط رسم کرد

هر چند پس از این فرض بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما او توانست بر اساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچگونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.