كمي درباره ي جبر جابجايي

"جبر جابجايي" يكي از شاخه هاي "جبر مجرد" در علم رياضي است. هدف جبر جابجايي بررسي ساختارهاي مهمي از ساختارهاي رياضي است كه به "حلقه هاي جابجايي" , "مدولها" و "جبرها" معروف هستند.

هر چند خود "جبرجابجايي" شاخه ي مهمي از رياضي است اما اهميت آن به واسطه ي كاربرد داشتن در ديگر شاخه هاي رياضي مانند "هندسه ي جبري" و "نظريه ي جبري اعداد" نيز مي باشد.

يكي از شاخه هاي جديد جبرجابجايي كه بسيار مورد توجه قرار گرفته شده است "جبرجابجايي تركيبياتي" نام دارد.

هندسه موسيقي

مطلب زير بريده‌اي از يك نوشتار بلند پيرامون مباني نظري موسيقي در تمدن اسلامي است. اين مطلب به ريشه‌هاي و تاثيرات تفكر يوناني بر فرهنگ موسيقايي اسلامي مي‌پردازد.

در بررسي تاريخ موسيقي در تمدن اسلامي، گام اول اشارتي نه چندان گذرا به فرهنگ و فلسفه يوناني است. اين گام ضروري است زيرا در اين معنا ترديدي وجود ندارد كه تاثيرپذيري فلسفه و كلام اسلامي از انديشه‌هاي فلاسفه يوناني، نقش مهمي در رويكرد به موسيقي در تاريخ تفكر و تمدن اسلامي داشته است. نظرگاههاي خاص «اخوان الصفا»  و عرفاي بزرگي چون «مولانا محمد جلال الدين رومي » در مورد موسيقي و سماع، بازتابي از ديدگاه هاي فيثاغورثيان پيرامون موسيقي است.

بررسي تاريخي موسيقي با فيثاغورث آغاز مي‌شود. فيلسوف نام‌آور جزيره «ساموس» كه در سال 532 قبل از ميلاد به دنيا آمد و از بنيانگذاران اولين انجمن فلسفي عرفاني در زندگي انسان غربي است.

«كاپلستون » در «تاريخ فلسفه» معتقد است، محور افكار و اعمال فيثاغورثيان تزكيه و تطهير بود. آنها عوامل وصول بدين تطهير و تزكيه را، تمرين سكوت، موسيقي و مطالعه رياضيات مي‌دانستند. همنشيني موسيقي و رياضيات در ذهنيت فيثاغورثيان، ابواب معرفتي مهمي را بر ذهن و روح بشر گشود و در اين ميان موسيقي كه نسبت بسيار گسترد‌ه‌اي با عدد و هندسه داشت، عاملي براي عروج و صعود روح و ادراك رقص و چرخ افلاك توسط فيثاغورثيان شد.

فيثاغورثيان اولين كساني بودند كه پي بردند مي‌توان فواصل ميان نتهاي چنگ را با عدد بيان كرد. همچنين «فيثاغورث ميان سازواره‌اي موسيقايي و رياضيات رابطه‌اي اساسي يافت. ولي آنچه او كشف كرد بسيار دقيق و روشن بود. هر گاه تك تار كشيده‌اي را به ارتعاش درآوريم يك نت اصلي ايجاد مي‌كند. نتهايي كه با اين نت سازواره‌اي دارند با تقسيم تار به عده كاملا درستي از اجزاي آن به دست مي‌آيند، درست به دو جزء، درست به سه جزء، درست به چهار جزء. الي آخر. اگر نقطه ساكن تار، يا گره، بر يكي از اين نقاط مشخص قرار نگيرد، صداناساز است... فيثاغورث دريافته بود كه نواهايي كه به گوش خوشايند هستند با تقسيمات طول تمام تار بر اعداد درست مطابقت دارند. اين كشف براي فيثاغورثيان نيرويي عرفاني داشت. تطابق ميان طبيعت و عدد آنچنان قوي بود كه اينان متقاعد شده بودند كه نه تنها صداهاي طبيعت، بلكه همه ابعاد مميز آن نيز، بايد اعدادي ساده و بيانگر سازواره‌اي باشند. مثلا فيثاغورث و پيروانش بر اين عقيده بودند كه مدارهاي اجرام فلكي را ( كه به تصور يونانيان روي كر‌ه هاي بلورين به دور زمين گردش مي‌كنند) با ربط دادن آنها به فاصله‌هاي موسيقي مي‌توان حساب كرد.

احساس آنها چنين بود كه همه نظامهاي موجود در طبيعت موسيقايي‌اند: از ديد آنها گردش چرخ، موسيقي افلاك بود.»

فيثاغورثيان زمين را كروي مي‌دانستند و معتقد بودند «نه تنها مركز جهان نيست بلكه زمين و سيارات همراه با خورشيد گرد آتش مركزي يا «كانون جهان» كه با عدد يك، يكي گرفته مي‌شد مي‌گردند.»

تحليل موسيقايي فيثاغورثيان در طول تاريخ مورد ستايش و در عين حال انتقاد برخي واقع شده است. ليكن اهميت كار او در كشف نقش مهم اعداد در موسيقي و حساب بسيار قابل توجه و غير قابل انكار است. برتراندراسل در اين مورد مي‌گويد:

«رابطه‌اي كه وي (فيثاغورث ) ميان موسيقي و حساب پديد آورد هنوز در اصطلاحات رياضي «معدل هارمونيك» و «تصاعد هارمونيك» به جاي مانده است.» همچنين راسل معتقد است نسبت قوي ميان رياضيات و حقيقت، منشأ اعتقادات عرفاني و عقلاني در حيات انسان شده است: «به نظر من بزرگترين منشأ اعتقاد به حقيقت كامل و ابدي و نيز اعتقاد به عالم معقول و نامحسوس همان رياضيات است. نظريات عرفاني درباره نسبت زمان و ابديت نيز به وسيله رياضيات مطلق تقويت مي شود. زيرا كه اشياي رياضي مانند اعداد اگر اصولا واقعيتي داشته باشند، ابدي هستند و در بستر زمان قرار ندارند چنين اشياي ابدي را مي‌توان افكار خدا پنداشت؛ نظر به افلاطون كه مي‌گويد خدا «مهندس»‌است و عقيده سر جيمز جينز كه مي‌گويد خدا به علم حساب معتاد است از اين جا آب مي‌خورد، دين تعقلي در برابر دين اشراقي، از زمان فيثاغورث و خاصه از زمان افلاطون تاكنون متأثر از رياضيات و اسلوب رياضي بوده است، تركيب رياضيات و الهيات كه با فيثاغورث آغاز شد، در يونان و قرون وسطي و عصر جديد تا شخص كانت صفت مشخص فلسفه ديني شد.»

اين پيوستگي و پيوند ميان رياضيات، فلسفه، هنر، الهيات و عرفان بعدها عامل بسيار مهمي در شكل گيري هنر اسلامي شد.

در سطور پيشين ذكر شد كه نظريات فيثاغورثيان مورد انتقاد فلاسفه اسلامي چون فارابي، بوعلي سينا و بعدها «وين چن زوگاليله» - پدر گاليله- قرار گرفت. اما تحقيقات جديد نشان داده است استناد فيثاغورثيان به حساب و هندسه نه مبتني بر الهيات يوناني كه مبتني بر الهيات و اساطير سومريان بوده است.

در اين تحقيقات سعي بر اين است كه بين نقش بسيار مهم فلسفه يوناني در شكل گيري موسيقي علمي و عددي و نيز انتقادهايي كه به انديشه‌ فيثاغورثيان مي‌شود، جمعي صورت گيرد. از يك سو افلاطون، «برجسته‌ترين اسطوره نگارهارمونيك غرب» لقب مي‌گيرد و از سوي ديگر مباني فكري او مستند به كشفيات رياضي- موسيقايي سومريان مي‌شود. بدين ترتيب اين تحقيقات فيثاغورثيان را دور مي‌زند.

از جمله اين محققان جديد، «ارنست جي مك كلين» است. وي ضمن ذكر انتقادات وين چن زوگاليله به نظريات داستان جذاب ارتباط موسيقي و كيهان شناسي» خود برمي‌گزيند. از ديدگاه وي افلاطون به عنوان برجسته‌ترين اسطوره‌نگار هارمونيك، متأثر از رياضيات سومري است. وي مي‌گويد: «بايد بدانيم كه مجبوريم تئوري اعداد مربوط به موسيقي را به صورت سنگريزه‌هاي مثلث شكل يا «چارگان مقدس» درآورده و اجرا كنيم و براي رسيدن به اين منظور- بنا به عقيده فيثاغورثي‌ها- لازم است كه از الگوهاي خشتي موجود در نماد سومري‌ «كوه»‌تبعيت نماييم و سپس مانند سقراط دلالتهاي هارمونيك تئوري اعداد مربوط به موسيقي را به صورت  سنگريزه‌هاي مثلث شكل يا «چارگان مقدس» درآورده و اجرا كنيم و براي رسيدن به اين منظور – بنا به عقيده فيثاغورثي‌ها- لازم است كه از الگوهاي خشتي موجود در نماد سومري«كوه» تبعيت نماييم و سپس مانند سفراط دلالتهاي هارمونيك تئوري اعداد مربوط به موسيقي را به صورت دايره‌اي بر روي شن به تصوير درآوريم. اين دايره همان جهان يا كيهان است كه همانند صداهاي گام 12 درجه‌اي تا ابد به صورت دايره‌اي خواهند بود.»

«مك كلين» با ذكر اعداد نمادين سومري كه كاركرد خدايان اين تمدن را نشان مي‌داد نسبت ميان تقسيمات موسيقي با اين اعداد و كاركردها را نشان مي‌دهد. به عنوان مثال نماد عددي Ano به صورت 6060=1 در نظر گرفته مي‌شد و خدايي چون ِِEnlil  با نماد عددي 50 مبدع فاصله موسيقايي سوم بزرگ Major third  با نسبت چهار پنجم و سوم كوچك  Major third با نسبت پنج ششم محسوب مي‌شود. Enki  خداي آبهاي شيرين و با نماد عددي 40، فاصله پنجم درست Perefect Fith  كه فدرتمند‌ترين فاصله‌ها پس از اكتاو است را سبب مي‌شود. خدايان ديگر نيز چون Sin، ٍShamash، ( يا شمس عربي)، Ishtar، nergal ، Baal و mardok هر كدام اين قلمرو پذيرايي نقشي مي‌شوند، نقشي كه از ارتباط گسترده ميان الهيات ، رياضيات و موسيقي حكايت مي‌كند. «تئون ازميري» متاثر از اين ديدگاه گفته بود: «اعداد سرچشمه‌هاي شكل و وانرژي‌اند در جهان. آنها حتي در نزد خود پويا و فعالند، چونان اغلب مردم در استعداد خود براي تئاتر متقابل.»

در تاثير پذيري فيثاغورثيان از هندسه و حساب سومري و نيز تاثير پذيري افلاطون از اين حساب و هندسه و همچنين قدسي انگاشتن عدد نزد فيثاغورث و فيثاغورثيان شكي وجود ندارد.

افلاطون در رساله تيمايوس Timaeu  فرضيات جهان شناسي خود را ارائه كرده است. در اين رساله «جاي سقراط را يك تن فيثاغورثي گرفته است و قسمت عمده نظريات مكتب فيثاغورثي در آن بيان شده است.»

تاثير پذيري افلاطون از حساب و هندسه سومري و فيثاغورثي كه نقش مهمي در نظريات موسيقايي او داشت در اين رساله مشهود است:« تيمايوس مي‌گويد كه عناصر حقيقي جهان مادي خاك و هوا و آتش و آب نيستند بلكه عناصر حقيقي عبارتند از دو نوع مثلث قائمه الزاويه: يكي مثلثي كه نصف مريع است و ديگري مثلثي كه نصف مثلث متساوي الاضلاع است. در آغاز همه چيز درهم ريخته بوده و عناصر گوناگون پيش از آن كه نظم و آرايش يابند و جهان را پديد آورند در جاهاي گوناگون بوده‌اند ولي سپس خدا آنها را با شكل و عدد آرايش داد و آنها را كه خوب و زيبا نبودند تا سر حد امكان خوب و زيبا ساخت، گويا آن مثلثهايي كه در بالا ياد كرديم زيباترين شكلهايند بدين سبب خدا آنها را در ساختن ماده به كار برد. با اين مثلثها چها تا از احجام منتظم پنج گانه را مي‌توان ساخت و هر يك از اتمهاي چهار عنصر اصلي يكي از آن احجام منتظم است. اتم خاك شش سطحي، اتم آتش چهار سطحي، اتم هوا هشت سطحي و اتم آب بيست سطحي است.»

بحث بر سر صحت يا عدم صحت فرضيات افلاطون نيست، راسل در تاريخ فلسفه غرب مي‌گويد: «رساله تيمايوس بيش از همه آثار افلاطون حاوي مطالب احمقانه است» اما در عين حال نمي‌تواند به جدي بودن برخي مطالب او اقرار نكند: « مشكل بتوان تشخيص داد كه در رساله تيمايوس چه چيزهايي را بايد به جد گرفت و چه چيزهايي را بايد بازي خيال انگاشت. به نظر من شرح خلقت و پديد آمدن نظم از بي نظمي را بايد كاملا به جد گرفت. همچنين است تقسيم بندي چهار عنصر و رابطه آنها با احجام منتظم و مثلثهايي كه آنها را تشكيل مي‌دهند.»

همچنين رابرت لولر در كتاب ارزشمند خود تحت عنوان «هندسه مقدس» نسبت ميان هندسه قدسي و موسيقي از ديدگاه افلاطون را چنين روايت مي‌كند: «شايد به خاطر تامل در قوانين وساطت است كه شخص مي‌تواند رابطه بنيادين ميان هندسه و موسيقي را از قراري كه افلاطون در نامه هفتم خود مي گويد- و بيش از هر علم ديگر به آن احترام مي‌گذارد- اجمالا ببيند و شايد به همين دليل است كه مصريات دو هرم بزرگ را در جيزه ساخته‌اند كه يكي از آنها تنها مثلثي است كه اضلاعش يكي در تصاعد هندسي و ديگري در تصاعد 5،4،3 حساب است. در عصر ما «سايمون ويل» از اهميت اين علم به عنوان اصلي فلسفي براي عرفان عيسوي ياد مي‌كند

 

                                              با تشکر از دكتر حسن بلخاري

 

جبر یکی از سه شاخه مهم ریاضیات ( جبر - آنالیز - هندسه )

جبر

جبر از شاخه های اصلی علم ریاضیات است که تاریخی بیش از 3000 سال دارد.

این علم در طول تاریخ تحولات بسیاری داشته و در حال حاضر شامل شاخه‌های زیادی  است.

تاریخچه‌ی این علم به بیش از 3000 سال پیش در مصر و بابل برمی‌گردد که در آنجا در مورد  حل برخی از معادلات خطی بحث شده است. در هند و یونان باستان نیز ، حدود یک قرن پیش از میلاد از روش‌های هندسی برای حل برخی از معادلات جبری استفاده می‌گردیده است . در قرن اول میلادی نیز بحث در مورد برخی از معادلات جبری در آثار دیوفانتوس یونانی و برهماگوپتای هندی دیده می شود.

کتاب جبر و المقابله ی خوارزمی ، اولین اثر کلاسیک در جبر می‌باشد که که کلمه‌ی جبر  یا‌ Algebra از آن آمده است. خیام دیگر ریاضی‌دان شهیر ایرانی است که در آثار خود جبر را از حساب تمییز داد و گامی بزرگ را در تجرید و پیشرفت این علم برداشت.

درقرن 16 میلادی ، روش حل معادلات درجه سوم توسط دل‌فرو (Scipione del Ferro) و  معادلات درجه چهارم توسط فراری (Ludovico Ferrari )کشف گردید.

اواریست گالوا ( Évariste Galois ) ، ریاضی‌دان فرانسوی که در 20 سالگی در جریان انقلاب فرانسه در یک دوئل کشته شد ، بیشترین سهم را در پیشرفت و تجرید این علم داشت که نوشته‌های او ، سال‌ها پس از مرگش ، پس از مطالعه و بررسی توسط دیگر ریاضی‌دانان موجب تحول عظیم در این علم گردید.

نیلز هنریک ابل ( Niels Henrik Abel ) نروژی اولین کسی بود که ثابت کرد معادلات درجه 5 به بالا ،‌بوسیله‌ی رادیکال‌ها حل پذیر نیستند.

کارل فریدریش گاوس ( Carl Friedrich Gauss )،‌ ریاضی دان آلمانی که تاثیرات ژرفی  د ر توسعه ی شاخه های مختلف برداشته ، سهم زیادی در پیشرفت این علم داشت که مهم‌ترین آن همانا قضیه اساسی جبر می‌باشد.


پس از کارهای اویلر ،‌ لاگرانژ ، گاوس ،‌ کوشی و بسیاری دیگر از بزرگترین ریاضی‌دانان تاریخ ، علم جبر به قرن بیستم رسید که با شروع این قرن و به دلیل کشف تناظر های شاخه‌هایی از این علم با شاخه‌هایی از هندسه ،‌ این علم در شاخه‌های مختلف پیش رفت.

از جمله بزرگ‌ترین پیشرفت های جبر و ریاضیات در این قرن ، کلاس‌بندی گروه‌های ساده‌ی متناهی می‌باشد.

 

توضیحاتی در مورد ریاضی و مباحث آن

ریاضیات را معمولا دانش بررسی کمیت‌‌ها و ساختار‌ها و فضا و دگرگونی (تغییر) تعریف می‌کنند. دیدگاه دیگری ریاضی را دانشی می‌داند که در آن با استدلال منطقی از اصول و تعریف‌ها به نتایج دقیق و جدیدی می‌رسیم (دیدگاه‌های دیگری نیز در فلسفه ریاضیات بیان شده‌است.)

ریاضیات خود یکی از علوم ‌طبیعی به‌شمار نمی‌رود، ولی ساختارهای ویژه‌ای که ریاضیدانان می‌پژوهند بیشتر از دانشهای طبیعی به ویژه فیزیک سرچشمه می‌گیرند.

علوم طبیعی و مهندسی و اقتصاد و پزشکی بسیار به ریاضیات تکیه دارد ولی گاه ریاضیدانان به دلایل صرفا ریاضی (و نه کاربردی) به تعریف و بررسی برخی ساختارها می‌پردازند.

موضوع‌های اصلی ریاضیات

 در زیر بعضی از اصلی‌ترین شاخه‌ها و موضوعات ریاضی به صورت دسته‌بندی شده ارائه شده است:

 موضوع‌های اصلی ریاضیات

o                            ۱.۱ کمیت

o                            ۱.۲ ساختار

o                            ۱.۳ فضا

o                            ۱.۴ تغییر

o                            ۱.۵ پایه‌ها و روش‌های ریاضیات

o                            ۱.۶ ریاضیات گسسته

o                            ۱.۷ ریاضیات کاربردی

o                            ۱.۸ قضیه‌ها و حدس‌های مشهور

o                            ۱.۹ تاریخچه و جهان ریاضیات

o                            ۱.۱۰ ریاضیات و رشته‌های دیگر

o                            ۱.۱۱ ابزارهای ریاضی

کمیت

عدد- اعداد طبیعی- اعداد حسابی- اعداد صحیح- اعداد اول- اعداد مرکب- اعداد گویا- اعداد گنگ- اعداد حقیقی- اعداد مختلط- اعداد جبری-عدد پی- عدد ای- چهارگان‌ها- هشت‌گان‌ها- شانزده‌گان‌ها- اعداد پی- ادیک-Hypercomplex numbers-Hyperreal number-Surreal numbers-بینهایت- اعداد ترتیبی-اعداد اصلی- ثابت‌های ریاضی

ساختار

جبر مجرد-نظریه اعداد-هندسه جبری-نظریه گروه‌ها-مونوئیدها-آنالیز ریاضی-توپولوژی-جبر خطی-نظریه گراف-جبر عمومی-نظریه مقوله‌ها-نظریه ترتیب-نظریه مزور

فضا

توپولوژی، هندسه، مثلثات، هندسه جبری، هندسه دیفرانسیل، توپولوژی دیفرانسیل، توپولوژی جبری، جبر خطی، هندسه برخالی، متری

تغییر

حساب-حسابان-حساب برداری-آنالیز ریاضی-معادلات دیفرانسیل-سیستم‌های دینامیکی-نظریه آشوب-فهرست تابع‌ها

پایه‌ها و روش‌های ریاضیات

فلسفه ریاضیات-شهودگرایی-ساخت‌گرائی-مبانی ریاضیات-نظریه مجموعه‌ها-منطق نمادی-نظریه مدل-نظریه مقولات-منطق-ریاضیات معکوس-جدول نمادهای ریاضی

ریاضیات گسسته

ترکیبیات، نظریه شهودی مجموعه‌ها، نظریه رایانش، رمزنگاری، نظریه گراف

ریاضیات کاربردی

فیزیک ریاضی-مکانیک-مکانیک سیالات-آنالیز عددی-بهینه‌سازی-احتمالات-آمار-اقتصاد ریاضی-ریاضیات مالی-نظریه بازی‌ها-زیست‌شناسی ریاضی-رمزنگاری-نظریه اطلاعات

قضیه‌ها و حدس‌های مشهور

آخرین قضیه فرما، حدس ریمان، فرض پیوستار، P=NP، حدس گلدباخ، حدس اعداد اول توأمان، قضایای ناتمامیت گودل، حدس پوآنکاره، برهان قطری کانتور، قضیه فیثاغورث، قضیه اعداد بزرگ، قضیه حد مرکزی، قضیه اساسی حسابان، قضیه اساسی جبر، قضیه اساسی حساب، قضیه چهاررنگ، لم زرن

تاریخچه و جهان ریاضیات

تاریخ ریاضیات-گاهشمار رِیاضیات-نشان ریاضیدانان-جایزه فیلدز-مسائل جایزه‌ای هزاره-جایزه آبل-اتحادیه جهانی ریاضیات-مسابقات ریاضی

ریاضیات و رشته‌های دیگر

ریاضیات و معماری-ریاضیات و آموزش-ریاضیات گام‌های موسیقی