The cantor set cis a subset of the unit interval, with the subspace topology.  Delete (1/3,2/3), then (1/9,2/9) and (7/9,8/9), and so on, removing the middle third of segments forever.

Notice that the section of c from 0 to 1/3, when magnified, looks exactly like c.  This is an early example of a fractal, although fractal geometry was not known at the time.  Cantor simply thought it was a beautiful set, and indeed it is.

If x is in the complement of c, then it was removed at some point, as part of an open interval.  The complement is open, and c is closed.

Being a closed subspace of [0,1], c is compact.

Since c is a closed subspace of a complete metric space, it too is a complete metric space.

Let s be a sequence of zeros and ones.  If s₁ = 0, select the interval [0,1/3].  If s₁ = 1, select the interval [2/3,1].  If s₂ = 0, select the first third of the interval previously selected, and if s₂ = 1, select the last third of the interval previously selected.  This continues forever, building a chain of descending closed intervals whose lengths approach 0.  This chain always converges to a point, which we will call x.  Furthermore, x does not lie in the middle third of any segment, hence x has never been deleted, and x belongs to c.  We have a map from binary sequences into c.

Different sequences will diverge at some point, living in disjoint intervals thereafter.  Thus the map is 1-1.

Finally, let x be a point in the cantor set c.  At each step, x lies in the first or last third of the prior interval.  If it were in the middle third it would not lie in c.  Thus, at each step, s_n can be set to 0 or 1.  The resulting sequence converges to some y in c, and if y is not equal to x, then s_n goes down the wrong path at some point, moving towards y instead of x.  This contradicts the construction of s, hence s defines x.  The map is onto, and the points of c correspond 1-1 with the infinite binary sequences, which are sometimes written 2^ω.

As a corollary, the points of c are uncountable.

The binary sequences can be given an order topology.  This is based on lexicographic order, where 10101... is greater than 10100..., and so on.  Verify that the map from sequences into c respects order.  Thus 2^ω and c are homeomorphic.

 

From Sequences to Reals

It's a little bit off topic, but a similar construction shows ω^ω is homeomorphic to the nonnegative reals.  If s₀ = n then restrict attention to the interval [n,n+1).  If the next integer s₂ = 0, select, from the prior interval, the range [0,1/2).  If s₂ = 1 then select [1/2,3/4).  If s₂ = 2 select [3/4,7/8), and so on.  with this interval established, move to s₃, and select a slice of this interval in exactly the same way.  Continue this process forever, homing in on x.  Technically, each step establishes a half open interval, but you can think of them as closed intervals, giving a descending chain of closed intervals that converges to a point.  As before, this point has to be x.  The map is 1-1 and onto, and it respects order - lexicographic order in the infinite sequences and linear order in the reals.  The two spaces are homeomorphic.

 

توپولوژی (مکان شناسی)، مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی است که در طی تغییر شکلها ، ضربه خوردن ها و کشیده شدن اشیاء ، به طور ثابت حفظ میشوند (البته عمل پاره کردن مجاز نمی باشد). یک دایره به لحاظ توپولوژیکی هم ارز بیضی میباشد که می تواند در داخل آن با کشیده شدن تغییر شکل یابد و یک کره به سطح بیضی وار هم ارز است( یعنی یک منحنی بسته تک بعدی و بدون هیچ محل تقاطع که میتواند در فضای دو بعدی جای گیرد)، مجموعه تمام وضعیتهای ممکن برای عقربه های ساعت شمار و دقیقه شمار با هم ، به لحاظ توپولوژیکی با چنبره هم ارز است (یعنی یک سطح دوبعدی که می تواند در داخل فضای سه بعدی جای گیرد) و مجموعه تمام وضعیت های ممکن برای عقربه های ساعت شمار ، دقیقه شمار و ثانیه شمار با هم ، به لحاظ توپولوژی با یک شیء سه بعدی هم ارز می باشد.
البته توپولوژی فقط این نیست. توپولوژی با منحنی ها ، سطوح و سایر اشیاء در صفحه و فضای سه بعدی مطرح گردید. یکی از ایده های اصلی در توپولوژی این است که اشیاء فضایی مثل دایره ها و کره ها در نوع خود میتوانند به عنوان اشیاء محسوب شوند و علم اشیاء ارتباطی با چگونگی نمایش یافتن یا جای گرفتن آنها در فضا ندارد. برای مثال ، عبارت " اگر شما یک نقطه را از دایره بیرون بکشید، یک پاره خط حاصل خواهد شد " ، درست به همان اندازه که برای دایره صادق است برای بیضی و حتی دایره های پیچ خورده و گره دار نیز صدق می کند، چرا که این عبارت فقط خصوصیات توپولوژیکی را شامل می شود .
توپولوژی با مطالعه مواردی چون اشیاء فضایی از قبیل منحنی ها، سطوح، فضایی که ما آن را جهان می نامیم ، پیوستار فضا زمان با نسبیت عمومی، فراکتال ها، گره ها ، چند شکلی ها (اشیایی هستند که برخی خصوصیات فضایی اصلی آن ها مشابه با جهان ما می باشد)، فضا های مرحله ای که در فیزیک با آن ها مواجه می شئیم ( مثل فضای وضعیت های قرار گرفتن عقربه ها در ساعت) ، گروه های متقارن همچون مجموعه شیوه های چرخاندن یک رأس و غیره در ارتباط است.
توپولوژی برای جدا سازی اتصال ذاتی اشیاء و در عین حال کنار گذاشتن ساختار جزء به جزء آنها قابل استفاده می باشد.
اشیاء توپولوژیکی اغلب به صورت رسمی به عنوان فضا های توپولوژیکی تعریف می شوند. اگر دو شیء دارای خصوصیات توپولوژیکی مشابه باشند ، گفته می شود که آن ها هم ریخت هستند.البته اگر دقیق تر بگوییم ، خصوصیاتی که با کشیدن یا کج کردن یک شیء تخریب نمی شوند ، در واقع خصوصیاتی هستند که به واسطه همسانگری حفظ می شوند نه به واسطه ی هم ریختی؛ همسانگری با کج کردن اشیاء دیگر در ارتباط است در حالیکه همریختی ، خصیصه ذاتی است).
حدود سال 1900 ، (پوانکاره poincare) ، معیاری از توپولوژی را تحت عنوان هوموتوپی (Homotopy) طراحی کرد(کولینز . 2004) . به طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می شوند که یکی از آنها بتواند به طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد.
توپولوژی بر سه قسم است: توپولوژی جبری(که توپولوژی ترکیبی نامیده میشود) توپولوژی نا همسان و توپولوژی کم بعدی.
یک تعریف رسمی نیز برای توپولوژی که بر حسب عملیات های مجموعه ای تعریف میشوند ، وجود دارد. یک مجموعه X به همراه یک مجموعه T از زیر مجموعه آن ، در صورتی یک توپولوژی محسوب می شود که زیر مجموعه ها در T از خصوصیات زیر پیروی نمایند:

1- زیر مجموعه های ناچیز X و مجموعه تهی در T باشند.
2- هر گاه مجموعه ای A و B در T باشند ، آنگاهA^ B
3- هر گاه دو یا چند مجموعه در T باشند آنگاه اجتماع آن ها نیز چنین است.