AN INTRODUCTION TO DIFFERENTIABLE MANIFOLDS AND RIEMANNIAN GEOMETRY

BY:William M.Boothby

نوشته شده توسط دادمنش  در ساعت 8:56 | لینک  | 

 

A manifold is a topological space that is locally Euclidean (i.e., around every point, there is a neighborhood that is topologically the same as the open unit ball in ). To illustrate this idea, consider the ancient belief that the Earth was flat as contrasted with the modern evidence that it is round. The discrepancy arises essentially from the fact that on the small scales that we see, the Earth does indeed look flat. In general, any object that is nearly "flat" on small scales is a manifold, and so manifolds constitute a generalization of objects we could live on in which we would encounter the round/flat Earth problem, as first codified by Poincaré.

More concisely, any object that can be "charted" is a manifold.

 

 

One of the goals of topology is to find ways of distinguishing manifolds. For instance, a circle is topologically the same as any closed loop, no matter how different these two manifolds may appear. Similarly, the surface of a coffee mug with a handle is topologically the same as the surface of the donut, and this type of surface is called a (one-handled) torus.

As a topological space, a manifold can be compact or noncompact, and connected or disconnected. Commonly, the unqualified term "manifold"is used to mean "manifold with boundary." This is the usage followed in this work. However, an author will sometimes be more precise and use the term open manifold for a noncompact manifold without boundary or closed manifold for a compact manifold with boundary.

If a manifold contains its own boundary, it is called, not surprisingly, a "manifold with boundary." The closed unit ball in is a manifold with boundary, and its boundary is the unit sphere. The concept can be generalized to manifolds with corners. By definition, every point on a manifold has a neighborhood together with a homeomorphism of that neighborhood with an open ball in . In addition, a manifold must have a second countable topology. Unless otherwise indicated, a manifold is assumed to have finite dimension , for a positive integer.

Smooth manifolds (also called differentiable manifolds) are manifolds for which overlapping charts "relate smoothly" to each other, meaning that the inverse of one followed by the other is an infinitely differentiable map from Euclidean space to itself. Manifolds arise naturally in a variety of mathematical and physical applications as "global objects." For example, in order to precisely describe all the configurations of a robot arm or all the possible positions and momenta of a rocket, an object is needed to store all of these parameters. The objects that crop up are manifolds. From the geometric perspective, manifolds represent the profound idea having to do with global versus local properties.

The basic example of a manifold is Euclidean space, and many of its properties carry over to manifolds. In addition, any smooth boundary of a subset of Euclidean space, like the circle or the sphere, is a manifold. Manifolds are therefore of interest in the study of geometry, topology, and analysis.

A submanifold is a subset of a manifold that is itself a manifold, but has smaller dimension. For example, the equator of a sphere is a submanifold. Many common examples of manifolds are submanifolds of Euclidean space. In fact, Whitney showed in the 1930s that any manifold can be embedded in , where .

A manifold may be endowed with more structure than a locally Euclidean topology. For example, it could be smooth, complex, or even algebraic (in order of specificity). A smooth manifold with a metric is called a Riemannian manifold, and one with a symplectic structure is called a symplectic manifold. Finally, a complex manifold with a Kähler structure is called a Kähler manifold.

 

 

نوشته شده توسط دادمنش  در ساعت 21:43 | لینک  | 

نیکلای ایوانویچ لباچفسکی (Lobachevsky, Nikolay Ivanovich) از جمله اولین کسانی بود که قواعد هندسه اقلیدسی را که بیش از 2000 سال بر علوم مختلف ریاضی و فیزیک حاکم بود درهم شکست. کسی باورش نمی شد هنگامی که اروپا مرکز علم بود شخصی در گوشه ای از روسیه بتواند پایه های هندسه اقلیدسی را به لرزه در بیاورد و پایه های علم در قرن نوزدهم را پی ریزی کند.


خیال نداریم راجع به خود او صحبت کنیم بلکه می خواهیم بطور مختصر بیان کنیم که او چه کرد. در میان اصول هندسه اقلیدسی اصلی وجود دارد به اینصورت : از هر نقطه خارج یک خط نمی توان بیش از یک خط موازی ( در همان صفحه ای که خط و نقطه در آن قرار دارند) به موازات آن خط رسم کرد.

در طول سالها این اصل
اقلیدس مشکل بزرگی برای ریاضی دانان بود. چرا که ظاهری شبیه به قضیه داشت تا اصل. مقایسه کنید آنرا با این اصل اقلیدس که می گوید بین هر دو نقطه می توان یک خط راست کشید و یا اینکه همه زوایای قائمه با هم برابر هستند.

حقیقت آن است که بسیاری از ریاضی دانان سعی کردند که این اصل اقلیدس را اثبات کنند اما متاسفانه هرگز این امر ممکن نشد. حتی خیام در برخی مقالات خود سعی در اثبات این اصل کرد اما او نیز همانند سایرین به نتیجه نرسید.

لباچفسکی (1792 - 1856) نیز همانند بسیاری از دانشمندان علوم ریاضی سعی در اثبات این اصل کرد و هنگامی که به نتیجه مطلوب نرسید نزد خود به این فکر فرو رفت که این چه هندسه ای است که بر پایه چنین اصل بی اعتباری استوار شده است. اما لباچفسکی در کوشش بعدی خود سعی کرد تا رابطه میان
هندسه و دنیای واقعی را پیدا کند.

او معتقد بود اگر نتوانیم از سایر اصول هندسه اقلیدسی این اصل را ثابت کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم. اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند. او پس از بررسی های بسیار چنین بیان کرد :

از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه به موازات خط رسم کرد

هر چند پس از این فرض بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما او توانست بر اساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچگونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.

نوشته شده توسط دادمنش  در ساعت 11:42 | لینک  | 
 

Powered By: BLOGFA.COM