An important class of groups are permutation groups. One reason for their importance is that every group may be represented as a group of permutations on a suitable set

Let A be a set, then a permutation of A is a bijection . Read the notes on functions if you are unfamiliar with this idea

If A is finite then we may as well let and we write such a permutation as

where the are distinct elements of A

For example, let . There are six permutations for this set, namely , , , , ,  

There are two other common ways to write such a permutation. If the set A is understood to be a set of consecutive integers (or an ordered set) then the top line is deleted so we would write

where it is understood that maps 1 to etc. We shall not use this way of writing permutations. The second way, and the method we shall use in these notes, is to write the permutation as a product of disjoint cycles. A cycle is constructed as follows: Choose some starting element, say . Now compute the elements , , and so on until we arrive back at the element i (this is guaranteed if A is finite). Enclose this list of elements of A in parentheses to form the cycle where by we mean applied to i k-times. Now repeat the process to form the next cycle choosing as starting element an element of A that has not appeared in any previous cycle. The process ends when every element of A appears in exactly one cycle. The representation of is then obtained by juxtaposing (multiplying) these disjoint cycles. It is usual to suppress cycles containing only one element

As an example, if here are two of the three ways we discussed to write a certain permutation

where in the cycle notation we have suppressed the cycles (4)(7)(8). In a cycle such as we mean that the permutation maps 1 to 2, maps 2 to 3 and maps 3 to 1

Note that the cycle can also be written as since it contains the same information, but could not have been written as  

The six permutations on written as permutations in cycle form are 1,   , , ,  

تئوري اشوب يا فازي نگرش جديدي است كه نخستين بار در سال 1965 توسط پروسفور عسگر زاده مطرح گرديد. تئوري فازي بر نظريه "امكان" است همانگونه كه  علم امار بر نظريه"احتمال" استوار است. كاربرد فراوان تئوري  احتمالات ممكن است بر اين تصور منتهي شود كه عدم اطمينان موجود در پديده هاي احتمال پذير جنبه ي اماري داشته باشد و ماهيت تصادفي ندارد و از اين با استفاده از روش هاي امار و احتمالات انهار را مورد برسي قرار داد در حاليكه پديده هاي طبيعي فراواني يافت مي شوند كه احتمال ناپذير ند.

در علم رياضي نگرش دو ارزشي به قضايا  وجود دارد كه با نماد "1"و"0" به صورت"بود و نبود"و يا"هست يا نيست"ارزشيابي مي شود و هيچ حالت بينابيني  وجود ندارد  . اما در دنياي واقعي پديده هاي وجود دارند كه توجيه انها در چهارچوب يك طيف پيوسته بين بود يا نبود و با ارزشي بين 0 و1 صورت مي گيرد.

با استفاده از تئوري و منطق اشوب امكان رخ داد پديدهي  در محدوده ي 1و0  در نظر گرفته مي شود و ديگر استدلال اينكه پديده ي حتما رخ داده يا نه منتفي مي گردد و مي توان گفت كه پد يدهي با امكان مثلا 0.4 رخ داده است

يكي از اساسيترين مباحث تئوري اشوب بحث تابع عضويت و چگونگي تعريف ان هست و تفاوت روش هاي فازي با روشهاي ديگر در تعريف تابع عضويت  پديده هاست.

براي بدست اوردن تابع عضويت فازي هيچ دستور العملي و الگوريتم خاصي نيست بلكه تجربه و نواوري حتي اعمال نظر شخصي در شكلگيري و تعريف تابع عضويت مي توان موثر باشد.

 دهه اول آبان دهه ریاضی  را به تمامی اساتید و دانشجویان ریاضی تبریک میگویم

معني ركات زنبورها :

زنبوري كه داخل كند و مي شود و مي خواهد به ديگران اطلاع دهد كه چه چيزي را كشف كرده است ( ويزيتور ) با شتاب داخل مي شود و به زنبورها تنه مي زند . اگر بيشتر حركت كند مي خواهد بفهماند كه منبع بزرگي از شيره گلها پيدا كرده است و راه آن نزديك است و بايد كارگران بسياري براي جمع آوري آن بروند . زنبورها به همسايگان خود جهتي را كه بايد براي رسيدن به هدف انتخاب كنند ، نيز نشان مي دهند . زنبور پس از اينكه عطر گل را در فضا پخش كرد . حركاتي شبيه به رقص انجام مي دهد . در عين حال كه شكم را حركت مي دهد . مستقيماً به جهتي مي رود و ديگر شكم خود را حركت نمي دهد و به نقطه حركت خود بر مي گردد . مجدداً در حالي كه متوجه جهت اوليه است ، پرواز مي كند و بعد به چپ متمايل مي شود . اين حركات به مدت دو دقيقه ادامه مي يابد . اگر مكاني كه مي خواهد زنبورها را به آن راهنمايي كند ، در جهت خورشيد باشد ، زنبور در ميان كندو ، از پايين به طور قائم حركت مي كند ، ولي اگر از بالا به پايين حركت كند مي خواهد بفهماند كه زنبورها بايد به پشت خورشيد حركت كنند . در صورتي كه لازم باشد در حركت ، زنبورها در سمت راست يا چپ با خورشيد زاويه اي حاده يا متفرجه تشكيل دهند ، زنبور آن زاويه را در كندو به آنها نشان مي دهند چون داخل كندو تاريك است ، زنبورهاي ديگر به وسيله آنتن هاي خود حركات رقص زنبور راهنما را دنبال مي كنند هنگامي كه خورشيد در پشت ابرها پنهان باشد باز هم زنبورها مي توانند جهت خورشيد را تشخيص دهند كارل فن فريش به سهولت اين موضوع را ثابت كرده است .

« اگر باد در خلاف جهت منبع غذايي باشد ، رقص زنبور كند صورت مي گيرد و اگر باد موافق جهت منبع باشد تند مي رقصند . اگر در اين مسير زنبورها با باد شديدي مقابله كنند ، زنبور با رقص خود فاصله اي پيش از فاصله واقعي را نشان مي دهد . در صورتي كه باد موافق ، پرواز را آسان كرده باشد ، عكس اين كار را انجام مي دهد . »

زنبور پيش آهنگ ، نه تنها جهت حركت را به آنها نشان مي دهد بلكه فاصله دقيق منبع را از كندو معين مي كند . براي تعيين اين فاصله سرحت حركت خود را هنگام طي دايره هايي كه مي پيمايد ، تغيير مي دهد . كارل فن فريش نسبت ميان فواصل و سرعت ها را حساب كرد و نتيجه گرفت كه هر چه منبع غذايي نزديك تر باشد سرعت دوران زنبور بيشتر خواهد بود .

آزمايشات نشان داده است كه زنبورها از روي حركات زنبور پيش آهنگ فاصله دقيق را حساب مي كنند و هنگام پرداز آن را در نظر مي گيرند .

البته قابل ذكر است كه زنبورهاي پيش آهنگ علامت ديگري به همكاران خود مي دهند كه آنها از كندو بيرون مي آيند و بعد از روي رقص زنبورهاي پيش آهنگ مسافت را تشخيص مي دهند .

هنگامي كه زنبور اولين دور رقص خود را تمام كرده و مجدداً مي خواهد شروع كند با مرتعش ساختن بال هايش صداي « وز وز » را به گوش مي رساند . هنگامي كه به آخرين دور خود رسيد ، سكوت مي كند .

قابل توجه است كه زنبوران عسل با حركات رقص خود نمي توانند ، ارتفاع را نسبت به سطح زمين تعيين كنند . اين واقعيت را آزمايش زير به اثبات مي رساند :

« روزي ظرفي محتوي شربت را به نوك آنتن بي سيمي كه درست برفراز كندو قرار داشت وصل كردند البته ديري نگذشت كه ويزيتورها جاي آن را كشف كردند ولي نتوانستند اين كشف را به ساير زنبورها جبر دهند . بيهوده و به همين طريق ممكن قابل تصور رقصيدند و با پيچ و تاب دادن شكم اين سو و آن سو شدند با اين همه نتوانستند كاري جز گمراه كردن ياران خود انجام دهند . »

نقل از نشريه رجاء نشريه انجمن علمي آموزشي معلمان استان قزوين