ریاضیات را معمولا دانش بررسی کمیتها و ساختارها و فضا و دگرگونی (تغییر) تعریف میکنند. دیدگاه دیگری ریاضی را دانشی میداند که در آن با استدلال منطقی از اصول و تعریفها به نتایج دقیق و جدیدی میرسیم (دیدگاههای دیگری نیز در فلسفه ریاضیات بیان شدهاست.)
ریاضیات خود یکی از علوم طبیعی بهشمار نمیرود، ولی ساختارهای ویژهای که ریاضیدانان میپژوهند بیشتر از دانشهای طبیعی به ویژه فیزیک سرچشمه میگیرند.
علوم طبیعی و مهندسی و اقتصاد و پزشکی بسیار به ریاضیات تکیه دارد ولی گاه ریاضیدانان به دلایل صرفا ریاضی (و نه کاربردی) به تعریف و بررسی برخی ساختارها میپردازند.
موضوعهای اصلی ریاضیات
در زیر بعضی از اصلیترین شاخهها و موضوعات ریاضی به صورت دستهبندی شده ارائه شده است:
o ۱.۱ کمیت
o ۱.۳ فضا
o ۱.۵ پایهها و روشهای ریاضیات
o ۱.۱۰ ریاضیات و رشتههای دیگر
عدد- اعداد طبیعی- اعداد حسابی- اعداد صحیح- اعداد اول- اعداد مرکب- اعداد گویا- اعداد گنگ- اعداد حقیقی- اعداد مختلط- اعداد جبری-عدد پی- عدد ای- چهارگانها- هشتگانها- شانزدهگانها- اعداد پی- ادیک-Hypercomplex numbers-Hyperreal number-Surreal numbers-بینهایت- اعداد ترتیبی-اعداد اصلی- ثابتهای ریاضی
ساختار
جبر مجرد-نظریه اعداد-هندسه جبری-نظریه گروهها-مونوئیدها-آنالیز ریاضی-توپولوژی-جبر خطی-نظریه گراف-جبر عمومی-نظریه مقولهها-نظریه ترتیب-نظریه مزور
فضا
توپولوژی، هندسه، مثلثات، هندسه جبری، هندسه دیفرانسیل، توپولوژی دیفرانسیل، توپولوژی جبری، جبر خطی، هندسه برخالی، متری
تغییر
حساب-حسابان-حساب برداری-آنالیز ریاضی-معادلات دیفرانسیل-سیستمهای دینامیکی-نظریه آشوب-فهرست تابعها
پایهها و روشهای ریاضیات
فلسفه ریاضیات-شهودگرایی-ساختگرائی-مبانی ریاضیات-نظریه مجموعهها-منطق نمادی-نظریه مدل-نظریه مقولات-منطق-ریاضیات معکوس-جدول نمادهای ریاضی
ریاضیات گسسته
ترکیبیات، نظریه شهودی مجموعهها، نظریه رایانش، رمزنگاری، نظریه گراف
ریاضیات کاربردی
فیزیک ریاضی-مکانیک-مکانیک سیالات-آنالیز عددی-بهینهسازی-احتمالات-آمار-اقتصاد ریاضی-ریاضیات مالی-نظریه بازیها-زیستشناسی ریاضی-رمزنگاری-نظریه اطلاعات
قضیهها و حدسهای مشهور
آخرین قضیه فرما، حدس ریمان، فرض پیوستار، P=NP، حدس گلدباخ، حدس اعداد اول توأمان، قضایای ناتمامیت گودل، حدس پوآنکاره، برهان قطری کانتور، قضیه فیثاغورث، قضیه اعداد بزرگ، قضیه حد مرکزی، قضیه اساسی حسابان، قضیه اساسی جبر، قضیه اساسی حساب، قضیه چهاررنگ، لم زرن
تاریخچه و جهان ریاضیات
تاریخ ریاضیات-گاهشمار رِیاضیات-نشان ریاضیدانان-جایزه فیلدز-مسائل جایزهای هزاره-جایزه آبل-اتحادیه جهانی ریاضیات-مسابقات ریاضی
ریاضیات و رشتههای دیگر
ریاضیات و معماری-ریاضیات و آموزش-ریاضیات گامهای موسیقی
آشوب،یا آنچه در انگلیسی chaos خوانده می شود چیست؟
در مبحث واژگان این کلمه انسان را به یاد بی نظمی می اندازد.به یاد حالتی که هیچ چیز بر سر جای خود نباشد.اما آیا واقعا چنین است؟!!!
مطالعه در مورد این مبحث در حقیقت از مطالعات هواشناسی شروع شد.چندی از دانشمندان هواشناسی مشغول مطالعه در مورد شرایط جوی و تاثیر موارد مختلف بر هوای جهان و منطقه داشتند.آنان به مدت دو سال مشغول مطالعه هوای یک منطقه خاص دارای آب و هوای نسبتا بی تغییر و کاملا معتدل بودند و تمامی تغییرات را ثبت می کردند.یک دستگاه ثبت نمودار تغییرات جوی هر روز راس ساعت شش صبح روشن می شد و نمودار تغییرات را تا شش بعد از ظهر ثبت می کرد.اما در پاییز سال دوم ناگهان نمودار این تغییرات به طرز عجیبی عوض شد.یعنی نموداری مغشوش به ثبت رسید که نشانه بروز تغییرات شدید جوی بود،اما آن چه به چشم دیده می شد هیچ تغییری مشاهده نمی کرد.دانشمندان شروع به مطالعه در این مورد کردند تا دلیل این تغییر را دریابند اما متوجه هیچ چیز نشدند.پس از پاییز همه چیز دوباره عادی شد.این امر آنان را بر آن داشت تا یک سال دیگر مطالعات خود را در آن محل ادامه دهند.در پاییز سال بعد آنها همه چیز را تحت نظر داشتند.در این سال نتیجه مشاهدات خود را پیدا کردند.در نزدیکی آن محل دریاچه ای بود که گروهی از پرندگان مهاجر در پاییز به آنجا می رفتند.آن چه باعث تغییر شدید در نمودار می شد همین پرندگان بودند.پرواز دسته جمعی این پرندگان باعث می شد تا حرکت بال های آنان فشاری بر جو بیاورد و این فشار به مولکول های کناری هوا منتقل می شد و نهایتا به سنسور ثبت نمودار دستگاه می رسید.یکی از دانشمندان کنجکاو در پی آن شد که متوجه شود اگر این پرندگان آنجا نبودند چه می شد.وی با استفاده از یک برنامه کامپیوتری موقعیت منطقه را شبیه سازی کرد و برنامه را یکبار با حضور پرندگان و یکبار بدون حضور آنان اجرا کرد.هنگامی که پرندگان وجود داشتند کامپیوتر شرایط را دقیقا همان طور که در واقعیت بود نشان داد.اما بدون حضور پرندگان طوفانی بزرگ در منطقه شکل می گرفت که باعث تخریب تقریبا 12 هکتار از آن منطقه می شد.در حقیقت پر زدن آن پرندگان باعث می شد که شرایط شکل گیری این طوفان پیش نیایند...
پس از مطالعات جدی تر و عمیق تر و شبیه سازی جو جهان آنان به نتیجه ای رسیدند که مهم ترین شعار نظریه آشوب نام گرفت: پروانه ای در آفریقا بال می زند و گردبادی در آمریکای جنوبی شکل می گیرد.
فشاری که بال زدن آن پروانه بر اتمسفر می آورد شاید بسیار ناچیز باشد، اما فرایند تشدید باعث می شود که این فشار ناچیز و اندک به مرور و پس از طی مسافتی تبدیل به یک طوفان عظیم شود.
در جای دیگری، گروهی از دانشمندان علم ژنتیک مشغول مطالعه بر نقشه ژنتیکی قورباغه ها بودند.آنان سعی داشتند تا نقشه ژنتیکی این موجودات را تهیه کنند و از آن در راه پیشرفت دانش ژنتیک استفاده کنند.برای جلوگیری از زاد و ولد قورباغه ها و کنترل وضعیت آزمایشگاهی آنان تصمیم گرفتند که تنها از قورباغه های نر استفاده کنند.پس از حدود یک سال مطالعه ناگهان چیزی غریب اتفاق افتاد.روزی آنان متوجه شدند که پنج قورباغه به تعداد قورباغه ها افزوده شده است!!!
پس از مطالعه آنان متوجه شدند که برای جلوگیری از انقراض نسل، در قورباغه ها جهشی ژنتیکی اتفاق افتاده است و این گروه از قورباغه ها شش ماه از سال را نر و شش ماه را ماده اند.در فاصله تغییر جنسیت آنان در بدنشان تولید مثل می کنند.و این امر باعث ایجاد شعار مهم دوم نظریه آشوب گشت: زندگی برای بقا راه خود را خواهد یافت.
این نظریه در ابتدا تنها یک نظریه بود.(hypothesis)اما مطالعات بعدی آن را به یک تئوری تبدیل کرد.مطالعات بیشتر آن را به حد علم نیز رساندند.به طوری که امروزه از آشوب در معماری و عمران نیزاستفاده می شود.چرا که یکی از اصولی که این علم بیان می کند این است که هیچ چیز قابل پیش بینی نیست.به دلیل این که حیات راه خود را خواهد یافت.حتی اگر با دقت بسیار زیاد شرایط را کنترل کنیم،به این دلیل که خود ما نیز جزئی از مساله هستیم،دچار اشتباه خواهیم شد.مثال زیر را در نظر بگیرید:
اگر ما به دنبال این باشیم که در این شکل یک نظم و یک معادله پیدا کنیم شاید هیچ گاه نتوان به فرمولی رسید.اما از آنجا که باید برای توضیح انحرافات خطی در این شکل الگویی قابل توضیح وجود داشته باشد با استفاده از هندسه غیر اقلیدسی به چندین فرمول می رسیم که بخش اعظمی از این شکل را توضیح می دهد، اما برای بقیه این شکل توضیحی نداریم. بنا براین دست به ایجاد شاخه ای جدید در ریاضیات و هندسه می زنیم تا بتوانیم آن را توضیح دهیم. همین مساله به عدم قطعیت ختم می شود.یعنی ایجاد شرایط جدید باعث ایجاد علوم جدید می شود که گاهی تمام علوم قدیمی را زیر و رو می کند.
حالا بیایید تا همان شکل را بطور کامل ببینیم:
مشاهده می کنیم که تمامی بی نظمی موجود در آن شکل منجر به نظمی بزرگ شد.یعنی ایجاد یک خط راست.اما به دلیل این که ما درون شکل قرار داشتیم نتوانستیم به نظم کلی آن پی ببریم و به اشتباه کشیده شدیم.عین همین مساله را می توان در جهان جستجو کرد.دنیای اطراف ما پر از روابطی است که ما قادر به فهم آنان نیستیم و برای توضیح و توجیه آنان دست به ایجاد علوم مختلف می کنیم.علومی که هیچ کدام قطعیت ندارند و به گفته علم آشوب قابل پیش بینی نیستند...
جایزه فیلدز یا نشان فیلدز جایزهای است که هر چهار سال یکبار به ابتکار ریاضیدان کانادائی جان چارلز فیلد در جریان کنگره اتحادیه جهانی ریاضیات به ریاضیدانان جوان (کمتر از چهل سال) داده میشود.
جایزه فیلدز را "نوبل ریاضیات" میخوانند.
جايزه فيلدجازهاي است كه هر چهار سال يك بار يكبار به رياضيداناني كه كار ارزنده اي در رشته رياضي انجام داده باشندو زير چهل سال داشته باشند اهدا میشود.جايزه فيلدز به طور رسمي از سال 1954اهدا میشود.اين جايزه را در واقع میتوان نوبل رياضيات به حساب اوردزيرا جايزه نوبل در رشته رياضي اهدا نميشود.اين جايزه در واقع يك مدال (ياسكه )است به همراه 15000دلار كانادا.سكه از طلا ساخته شده است به كه روي ان سر ارشميدس حكاكي شده است
هندسهٔ فرکتالی وسیله و مفهومی نوین است که امکان توصیف ریختهای طبیعی را میسر کرده است. اشکال هندسی طبیعی همچون کرات آسمان و درخت کاج را به آسانی میتوان با کره و مخروط توصیف کرد ولی بسیاری دیگر از اشکال طبیعی به اندازهای پیچیده هستند که حتی با ترکیبی از اشکال هندسه اقلیدسی قابل توصیف دقیق نیستند. شکل گلکلم، ریخت کوهها، رویه یک فلز در مقیاسهای میکروسکوپی نمونههایی از شکلهای طبیعی هستند که توصیف آنها تنها توسط هندسهٔ فرکتالی ممکن است.
کشف مفاهیم فرکتالی ابزاری نیرومند در اختیار دانشمندان برای همسنجی پدیدههای پیچیده طبیعی قرار داد. برای نمونه با کاربرد مفاهیم برخالی میتوان شکل رودخانههای رشته کوههای البرز را با شکل رودخانههای کوههای زاگرس مقایسه کرد و یا میتوان تغییرات فعالیتهای لکههای خورشیدی در زمان را توصیف و با تغییرات دمای جو زمین هم سنجید. مسلماً مقایسه طول رودخانههای البرز با درازای رودخانههای زاگرس توصیف دقیقی نخواهد بود زیرا تنها یک جنبه از هندسه پیچیده رودخانههای نامبرده را مورد مقایسه قرار میدهد. مقایسه همخوانی بسامدهای سازنده تغییرات تعداد لکههای خورشیدی در زمان با تغییرات دمای جو در زمان میتواند همبستگی این دو پدیده نامبرده را تا اندازهای معین کند ولی نمیتواند معیاری یکتا که ارتباط میان بسامدهای سازنده این دو پدیده را معیین میکند ارائه دهد.
هندسه فراکتالی چیست؟
هندسه برخالی یک مفهوم نوین است که برای نخستین بار از سوی بنویت مندلبروت در سال ۱۹۸۰ معرفی گردید. بنیاد هندسه برخالی بر این فرض استوار است که اشکال طبیعی خودهمانند (Self similar) هستند و از تکرار قانونمند یک بلوک آغازین ایجاد گردیدهاند. برخالها را به دو دسته ریاضی و طبیعی تقسیم میکنند. نمونه برجسته فرکتالی ریاضی، فرکتال کخ (Koch Fractal) است. در پایان باید گفت این نوع خاص از هندسه به سه مفهوم مهم ریاضی محتاج است:
· مفهوم تابع
· مفهوم نمودار تابع
· مفهوم اعداد مختلط
عدد 13 از دوران قدیم ویژگی خاصی داشت ؛ نحس یا مقدس.ولی چیزی که در ریاضیات از این عدد می دانیم هیچ کدام از اینها نیست بلکه این عدد هم مثل بقیه اعداد فقط یک عدد است.ولی بعضی ها تحت تاثیر خرافات قرار گرفته اند و بعضی خواص ریاضی این عدد را پیدا کرده اند .به هر حال این خواص هیچ ربطی به نحس و مقدس بودن 13 ( البته به نظر من) ندارد.
آنچه در ادامه خواهيد خواند جادوی 13 است كه به نظر جالب مي رسد !!!
● 13 عدد اول است.
● 1-13^۲ عدد اول مرسن است.
● 13جسم ارشميدسي موجود است. (اجسام ارشميدسي اجسامي هستند كه وجوه آنها چند ضلعي بوده، نه لزوما از يك نوع ، و كنجهاي آنها مساوي هستند.)
● عدد 13كوچكترين Emirp است. (Emirp عدد اولي است كه اگر ارقام آن را معكوس كنيم مجددا عددي اول خواهد بود مثلا اعداد 13، 17،31، 37،.....)
● 169=13۲ بامعكوس كردن ارقام آن داريم:
961="2^31 يعني رقم هاي آن مجددا معكوس مي شود."
●2^13، 1+!12 را عاد ميكند.
● 13عدد Happy است.(براي دانستن اين كه عددي Happy است، مجموع مربعات رقمهاي عدد را پيدا كرده و دوباره مجموع مربعات عدد بدست آمده را حساب ميكنيم با ادامه اين روند اگر به عدد 1 دست پيدا كرديم آنگاه به آن عدد Happy گفته ميشود. مثلا براي عدد سيزده 10="2^3+2^1 و 1=2^0+2^1 بنابراين13" عدد Happyاست.)
● 13نيمي از 3^3+ 3^1- است.
●شاخه زيتوني كه در پشت دلارهاي آمريكا كشيده شده است 13 برگ دارد.
●2^13عدد !(1 -13)+ 1را عاد ميكند بنابراين يك عدد اول ويلسون(Wilson Prime) است. ( هر عدد اول p كه،p و p^2، مقدار p-1)!+1 ) را عاد كنند، عدد اول ويلسون ناميده ميشود. مثلا عدد 5 عدد ويلسون است. تنها اعداد شناخته شده 5 و 13و 563 است .)
●چرتكه چيني داراي سيزده ستون مهره براي محاسبات است.
● 13بزرگترين عدد اولي است كه مي تواند به دو عدد متوالي به صورت n^2+3 افراز مي شود.(آيا مي توانيد اثبات کنيد؟)
● 1+13- 13^13 عدد اول است.
● نخستين حفرهي اول با طول سيزده بين دو عدد 113و 127اتفاق ميافتد. (منظور از حفرهي اول تعداد اعداد مركب بين دوعدد اول متوالی است.)
● 13 كوچكترين عدد اول جايگشتپذير (Permutable Number) است. ( اين اعداد، اعداد اولي حداقل با دو رقم مجزا هستند كه با تجديد آرايش در رقم هايشان همچنان عددي اول باقي مي مانند مثلا براي عدد 337 ، 733 و 373 و 337 عدد اول است از ديگر اعداد از اين قسم ميتوان به 13,17,37,79,113,119و جايگشتهاي آن اشاره كرد.)
● هشت عدد اول ديگر ميتواند به وسيله تغيير يك رقم از 13 توليد شود.{11, 17, 19, 23, 43, 53, 73, 83}
● نخستين بار پرچم امريكا 13 ستاره و 13 خط داشت كه نشان دهنده تعداد مستعمرات اصلي اين كشور بود.
● عدد 13 كوچكترين عددي است كه ارقام آن در پايه چهار معكوس 13 است. ( 13 در پايه چهار 31 است.)
● رويهي بيضوي روي اعداد گويا كه داراي نقطهي گويا از مرتبهي 13 باشد موجود نيست.
● 2^13= 19+...+8+7
● عدد 2^13توسط مربعات مجزاي اعداد 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 بيان ميشود.
●طولاني ترين ركورد پرواز يك جوجه 13 ثانيه است .
سؤال: به روش استقراء ثابت كنيد مجموعه اعداد طبيعي جالب است.
جواب:يك(۱) اولين عدد طبيعي است پس جالب است.دو تنهاعدداول زوج طبيعي است پس جالب است.
فرض استقرا: ا گر nعدد جالبي باشد
حكم استقرا: ثابت ميكنيم n+1 عددجالبي است.
اثبات: فرض كنيدn+1 جالب نباشد . درآن صورت اولين عدد طبيعي خواهد بودكه جالب نيست درنتيجه n+1 به عنوان اولين عدد طبيعي ناجالب ،جالب خواهدبود. پس مجموعه اعداد طبيعي جالب است.
