اين مسئله را همه ما تجربه کرده ايم اما شايد هيچ کدام از ما به طور جدی روی آن فکر نکرده باشيم.

     اگر ورق را هر بار طوری تا کنيد که اندازه آن نصف شود بيش از ۷ يا ۸ بار نمی توانيد آن را تا کنيد. مهم نيست ورق اوليه شما چقدر بزرگ باشد. شايد تا به حال اين قضيه را شنيده باشيد و سعی کرده باشيد که آن را امتحان کنيد و متوجه شده باشيد که تا کردن کاغذ بيش از۷ يا ۸ بار بسيار سخت است. آيا می توان گفت که اين اعداد يک محدوديت مستدل و عمومی برای تا کردن کاغذ هستند؟

فرض کنید شما کاغذی را انتخاب کرده ايد که دارای پهنای w و ضخامت t است . اگر شما شروع به تا کردن ورق از يک سمت بکنيد وقتی به جايی برسيد که ديگر نتوانيد کاغذ را تا کنيد يک نوار باريک خواهيد داشت.

با هر تا کردن ضخامت کاغذ دو برابر می شود و پهنای آن نصف خواهد شد. يعنی بعد از N بار تا کردن ضخامت 2ⁿ خواهد بود و البته مشخص است که پهنا ۰.۵ⁿ  می شود

اگر با کاغذی به پهنای 11cm و ضخامت 0.002cm اين کار را انجام دهيد بعد از 7 بار تا کردن نسبت t/w برابر 1/6 می شود. اين بدان معنيست که اندازه ضخامت از پهنا بيشتر می شود و در نتيجه ديگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهيد بود. اگر اين کاغذ را 50 بار بزرگتر کنيد شايد بتوانيد آن را تا ۱۰ بار هم تا کنيد.

اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنيد ممکن است تعداد دفعات بيشتری بتوانيد به تا کردن کاغذ ادامه دهيد. در اين صورت هر بارضخامت دو برابر می شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه يک بار نصف می شود.

چندين سال پيش هنگامی که بريتنی گاليوان در دبيرستان درس می خواند با اين مسئله رو به رو شد که چگونه کاغذی را ۱۲ بار تا کند . او بايد برای گرفتن نمره از يکی از کلاسهايش اين مسئله را حل می کرد. بعد از آزمايش راه های مختلف او موفق شد که ورقه نازکی از طلا را ۱۲ بار تا کند. اما مسئله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.

گاليوان بر روی معادله تعداد دفعاتی که می توان يک کاغذ با اندازه معين را تا کرد کار کرد.

که در آن L کمترين درازای کاغذ، t ميزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتی است که می توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L بايد يکسان باشد.

براي يک طول و ضخامت معين عبارت *******بيانگر آن است که صفحه بعد از n بار تا کردن چند برابر کوچک شده است. با n=0 شروع می کنیم و به همين ترتيب به رشته ای از اعداد به اين صورت می رسيم:

0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074, 2798250, . . .

اين به اين معنی است که در تای دوازدهم 2798250 برابر مقدار کاغذی که در تای اول از دست می رود از دست خواهد رفت.

گاليوان در کتابی با نام ((Historical Society of Pomona Valley)) چگونگی به دست آوردن اين معادله و تلاشش برای حل مشکل را توضيح داده است. بالاخره در June 2002 گاليوان يک کاغذ بزرگ را ۱۲بار تا کرد.

 راستی اگر از دید دیگری مسئله را نگاه کنیم باز هم جالب خواهد بود. منظورم این است که اگر تا کردن کاغذ را با ارتفاع بسنجیم بعد از ۱۰ بار تا کردن ضخامت کاغذ بدست آمده ۱۰۲۴ برابر حالت اولیه می شود و در مرحله ۱۱ ام۲۰۴۸ و در مرحله ۱۲ ام ۴۰۹۶

یعنی در مرحله دوازدهم باید ۴۰۹۶ برگ را تا کنیم که ضخامتی برابر با حدود ۵۰ سانتی متر که کار خیلی دشوار و تقریبا ناممکن است

بنا بر فرضيه نسبيت اينشتين، كه او آن را در سال 1905 ميلادى ارائه كرد، ساعت هايى كه به سرعت تغيير مكان داده مى شوند نسبت به ساعت هايى با ساخت همسان كه در مكان ثابتى قرار گرفته اند، آهسته تر كار مى كنند. اين پديده كه به صورت تحت اللفظى «كش آمدن زمان» ناميده مى شود، احتمالاً يكى از نتايج اعجاب برانگيز تئورى انقلابى اينشتين در مورد فضا و زمان است. اينكه مدت يك ثانيه، بايستى به سرعت حركت خود ساعت بستگى داشته باشد، از لحاظ حسى، قابل تصور نيست و با تجارب همه روزه ما، همخوانى ندارد. با اين وجود، «انبساط زمان» كه در سال 1971 توسط ساعت هاى اتمى در داخل هواپيماهاى پر سرعت ثابت شد، يك واقعيت است. اما فيزيكدانان آلمانى درصدد برآمدند تا اين موضوع را دقيق تر بررسى كنند.

قلب تپنده انستيتوى فيزيك هسته اى ماكس پلانك، يك دستگاه شتاب دهنده ذرات است كه در مكانى به بزرگى جايگاه نگهدارى هواپيماها قرار گرفته است. «گيدو زاتهوف» كه به هنگام كار ترانسفورماتورها و دستگاه هاى توليدكننده خلاء به زحمت مى توانست صداى خود را به گوش ما برساند، گفت: «داستان از اينجا آغاز مى شود. ما اينجا يك قفس فارادى داريم كه درون آن يك منبع يونى جاى گرفته است.»

اين فيزيكدان متخصص به تانكى نارنجى رنگ و به شكل يك سوسيس بسيار بزرگ اشاره مى كند و مى افزايد: «در درون اين محفظه، يك جريان الكتريكى فشار قوى، يون هاى عنصر ليتيم را تحريك كرده و به ميزان 19 هزار كيلومتر در ثانيه به شتاب در مى آورد. اين سرعت كه يك ششم سرعت نور است براى گردش هر 2 ثانيه يكبار يون ها به دور زمين كفايت مى كند.»
بر اساس فرضيه نسبيت اينشتين، بايستى ساعت درونى ذرات پرسرعت يون ها نسبت به ساعت مچى زاتهوف آهسته تر كار كند. به گفته او: «بر اساس نظريه اينشتين، تقريباً 002/1 مرتبه آهسته تر. يعنى 002/0 ثانيه آهسته تر از ساعت هاى آزمايشگاه و ما مى توانيم به وسيله اسپكتروسكوپ ليزرى اين فاكتور را تا رقم دهم بعد از مميز نيز دقيقاً محاسبه كنيم.» 
در زيرزمين موسسه ماكس پلانك، زير نورى ضعيف و در پس يك پرده پلاستيكى سياه رنگ، يك ميز به بزرگى ميز پينگ پونگ قرار دارد. 3 دستگاه بزرگ ليزر و شمار زيادى عدسى و آينه، بر اين ميز جاى گرفته اند. تنها سوار كردن اين سيستم دقيق نورى 3 سال تمام زمان نياز داشت.
تاكنون كارشناسان آلمانى موفق شده اند فرمول اينشتين را با دقت 10 رقم بعد از مميز نيز تائيد كنند. اما آنها قصد دارند به زودى اين آزمايش ها را با دستگاه قوى ترى در شهر «دارمشتات» به انجام برسانند.

در کشور ما ایران در سده های چهارم و پنجم هجری ، بسیاری از ریاضی دانان ایرانی ، به بررسی تصاعد ها پرداخته‌ اند از جمله « ابوریحان بیرونی » در کتاب خود به نام « آثار الباقیه عن القرون الخالیه » مسئله معروف صفحه شطرنج را که در واقع مسئله ای مربوط به یک تصاعد هندسی است که جمله ی اول آن واحد و تعداد جمله ها 64 باشد ، حل کرده است و با استدلال دقیق ، مجموع جمله های این تصاعد را به دست آورده است

18446744073551615

درباره صفحه شطرنج ، روایتی وجود دارد . وقتی مخترع شطرنج ، کشف خود را به شاه عرضه کرد ، شاه از اوخواست پاداشی بخواهد ، دانشمند پاسخ داد : به خاطر خانه اول شطرنج ، یک دانه گندم به من بدهید و به خاطر خانه دوم دو دانه‌ی گندم و به خاطر خانه سوم چهار دانه‌ی گندم و همینطور برای هر خانه دو برابر خانه‌ی پیش از آن گندم به من بدهید تا به خانه شصت و چهارم برسد . شاه با ساده لوحی فرمان داد یک کیسه گندم به این مرد بدهید . ولی او نپذیرفت و تقاضا کرد پس از محاسبه دقیق ، گندم را به او بدهند و پس از محاسبه، عددی را که در بالا آوردیم پیدا شد .که اگردر تمام سطح کره زمین (یعنی هر جا که خشکی باشد ) گندم بکارند این مقذار گندم به دست نمی آید. ابوریحان بیرونی با استدلال به این نتیجه رسید که مقدار گندم ها برابر 264-1 و برای محسوس کردن این عدد می گوید:در سطح کره مین 2305 کوه را در نظر می گیریم ، اگر از هر کوه 10000رود جاری شود ، در طول رود خانه 1000قطار قاطر حرکت کند و هرقطار شامل 1000قاطر باشد و بر هر قاطر 8 کیسه گندم قرار داده باشیم . ودر هر کیسه 10000دانه گندم باشد . آن وقت عدد همه‌ی این گندم ها از تعداد گندم های صفحه شطرنج کوچکترمی شود.

به نظر شما جالب نیست؟

مثلث متساول الاضلاع معادل یک آکورد افزوده

شما باز هم می توانید مثلث های دیگری درست کنید. به شکل بعدی نگاه کنید که آکوردهای دو ماژور و لا مینور را نمایش میدهد. این دو مثلث (آکورد) خصوصیات جالبی دارند اولا" اضلاع آنها باهم برابر است، ثانیا" نسبت به خطی که از D کشیده میشود و به G# خطم میشود متقارن می باشند، حتما" می دانید که مینور نسبی گام دو ماژور، لامینور می باشد. به این طریق شما می توانید یک روش ساده برای پیدا کردن گامهای مینور و ماژور نسبی پیدا کنید، هر چند اینکار در پیانو بخاطر وضوح دیداری که چیدمان نت ها وجود دارد ساده می باشد.

مثلث های متساوی الساقین هم جالب هستند یکی از آنها آکورد sus2 را تشکیل میدهد که در شکل مشاهده میکنید و همچنین میتوانید آکوردهای کاسته را نیز باز با یک مثلث متساوی الساقین درست کنید. اگر دقت کنید این مثلث متساوی الساقین حالت آکورد sus2 برای C و حالت آکورد sus4 برای G دارد. بنابراین می توان به ارتباط نزدیک آکوردهای sus در حالت های 2 و 4 برای فاصله های پنجم با یکدیگر پی برد. این نکته هم جالب خواهد بود اگر شما راس D در این مثلث را نسبت به راس C قرینه کنید به آکورد sus2 دیگری می رسید که یک پرده عقب تر است آکورد Csus4 قرار دارد.

آکوردهای بزرگ، کوچک، sus2 و sus4

شما می توانید دامنه مدل کردن را ادامه دهید و راجع به سایر مثلث ها فکر کنید، همچنین می توانید آکوردهای چهار صدایی را با انواع چهار ضلعی ها مدل کنید. سئوالی که پیش می آید این است که آیا هستند افرادی که با شنیدن موسیقی این اشکال در ذهن آنها نقش ببندد؟

فراکتال

فراکتال ها(fractals) جزء معدود چیزهایی است که واقعا از دیدن شان لذت می برم و دوست شان دارم. این اشکال زیبا که به شکل دیوانه کننده ای وحشی، غیر قابل پیش بینی و بدیعند به نوعی بیان کننده حقیقت حاکم بر طبیعت نیزهستند.

بی نهایت در بی نهایتند و حد و مرزی را نمی شناسند. بسیار ساده اند به سادگی یک فرمول چند حرفی. در عین حال بسیار پیچیده اند به پیچده گی کل طبیعت. چنان آشوبناکند که حرکت و شکلشان غیر قابل پبش بینی است. با این حال از چنان نظمی پیروی می کنند که در کمتر چیزی این نظم را می توان به عینه دید. وجودشان تشکیل شده از تکراریک قانون کوچک ومشخص در ابعاد مختلف. اشکالی که از آنها به دست می آید در بسیاری ازمواقع بسیار شبیه شیئی مشخص در طبیعت است مانند برگها و گیاهان. به نظر من چیزی که تا حدی در این تصاویر جالب است، نزدیکی آن به هنرهای تصویری ایرانی است که آنها هم بر گرفته از طبیعت و دارای عنصر مهم تکرار هستند. ، آن چیزی که باعث ایجاد و گسترش گرافیک فراکتالی شده قطعا کامپیوترو برنامه نویسی بوده است. در واقع با سریعتر شدن کامپیوترها شرایط برای ایجاد و آزمایش این فرمولها که از قبل شناخته شده بود مهیا شد

فلسفه هفت سین چیست؟ به طور مقدمه باید دانست که عدد "هفت" نزد ایرانیان قدیم مقدس بود و به خاطر ستارگان هفتگانه یعنی زهره ، مشتری ، عطارد ، زحل ، مریخ ، زمین و خورشید  عدد هفت را گرامی می داشتند. نیاکان ما که زرتشتی بودند ، اعتقاد داشتند که عقل مقدس یعنی " اهورامزدا " که به او "سپند مینو" نیز می گفتند ، شش وزیر بزرگ به نام "امشاسپندان" دارد که یعنی مقدسان جاویدان و این شش امشاسپند با "سپندمینو" تشکیل (هفت سپند) می دهند.

علت این که هفت سین به راستی هفت سین است ، اشاره به هفت "امشاسپند" است و چون کلمه "سپند" با سین شروع می شده ، روی این اصل به علامت آن هفت مقدس جاودانی ، چیزهائی در نظر گرفته شده که هم با حرف سین شروع شده باشند و هم مورد استفاده مثبت بشر واقع شوند.

عدد هفت در قدیم : مردم بابل عدد هفت را مقدس می شمردند ، طبقات آسمان و زمین و سیارات هفت بوده است ، ایام هفته هفت روز است.

هفت از نظر مذاهب: به عقیده هندیها در آئین برهما انسان هفت بار می میرد . عروس و داماد باید هفت قدم به اتفاق هم بردارند. هفت قدم جلو رفته و قسم می خورند ، در آئین زرتشت هفت فرشته مقرب وجود دارد. در تورات مذکور است که هفت نر و ماده را با خود برگیر تا نسلی بر جهان بماند.

هفت در آئین مسیح : هفت معجزه ، از 33 معجزه را مسیح در انجیل ذکر کرده است ، در انجیل از هفت روح پلید صحبت شده است ، به نظر فرقه کاتولیک ، هفت نوع شادی و هفت غسل تعمید وجود دارد.

هفت در اسلام: آسمان هفت طبقه دارد . فرعون در خواب هفت گاو چاق و هفت گاو لاغر را دید که گفتند هفت سال خشکسالی و هفت سال فراوانی می شود. جهنم هفت طبقه دارد . گناهان اصلی هفت عدد است . پیش از اسلام در بین اعراب ، هفت بار طواف دور کعبه مرسوم بوده و در سنت اسلامی نیز چنین است . هفت نفر قاری قرآن معروف بودند ، هفت بار شستن اشیاء ناپاک و قرار گرفتن هفت عضو بدن هنگام نماز  بر زمیننیز مذکور است .

هفت در تصوف : هفت وادی سلوک در تصوف معروف است 1) طلب ، 2)عشق ، 3)معرفت ، 4) استغنا ، 5)توحید ، 6) حیرت ، 7)فنا ، مولوی می گوید:

هفت شهر عشق را عطار گشت .........................ما هنوز اندر خم یک کوچه ایم

هفت در تاریخ : همراهان داریوش با خود او هفت نفر بودند، در نقش رستم در بالای آرامگاه داریوش ، هفت نقش ملاحظه می شود . جنگهای هفت ساله در زمان لوئی 11 واقع شد. اژدهای هفت سر معروف است . هفت پسر گشتاسب به هفت راهزن تبدیل شدند و هفت خوان رستم و اسفندیار معروف است.

معابد هفت طبقه: در بابل و آشور هر معبدی هفت طبقه داشت و هر طبقه به نام یکی از سیارات و هفت رنگ بود (سرخ ، سیمین، سفید، سیاه، ارغوانی، آبی و سبز). حصار اکباتان هفت دیوار داشت و آرامگاه کورش هفت پله دارد .